Как это решить методом мат индукции?

[Vania2105]

Доказать нужно ТОЛЬКО методом мат индукции:
1) n^(n+1) > (n+1)^n, n>2
2) n^n >= (2n-1)!!

[Vania2105]

Прошу прощения, ниже нормальной записью.
1)$n^{n+1}>(n+1)^n, n\geq3$
2)$n^n \geq (2n-1)!!$

Впрочем, первую уже не надо, решил:
Индукцию показать легко, предположение сделали.
Покажем, что $(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$.
$\frac{(n+1)^{n+2}\cdot n^{n+1}}{n^{n+1}} > \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}}$, исходя из предположения. Достаточно показать, что $\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}} > (n+2)^{n+1}$.
Извлечем корень $n+1$-й степени из левой и правой части. Имеем:
$\frac{(n+1)^2}{n}>n+2$. Далее через пропорцию очевидно.

-- 16.09.2012, 22:58 --

2-е тоже решилось...
Будем доказывать от правой части к левой. Т.е., $(2n-1)!!\leq n^n$.
База индукции очевидна. Тогда:
$(2n+1)!! =(2n-1)!!\leq n^n \cdot (2n+1)$
Покажем, что $n^n \cdot (2n+1) \leq (n+1)^{n+1}$
Можно переписать по пропорции, $\frac{2n+1}{n} \leq (\frac {n+1}{n})^{n+1}$.
Поскольку $(\frac {n+1}{n})^{n+1} \geq e$, то достаточно показать, что $(2+\frac{1}{n})\geq e, \forall n\geq2$. Это неравенство очевидно, но у меня есть другие непонятные задачки.

Подкиньте, пожалуйста, идею доказательства индукцией (не определение, а идею) неравенства:
$(n!)^2 < (\frac{(n+1)(2n+1)}{6})^n, \forall n>1$

[xmaister]

Vania2105 в сообщении #619898 писал(а):

$(n!)^2 < (\frac{(n+1)(2n+1)}{6})^n, \forall n>1$

Пробовали логарифмироавть?

[Shadow]

Не по индукции, но все таки. Если умножить на $n^n$ в правую часть получим формулу суммы первых n квадратов
$n^n(n!)^2<(1^2+2^2+\cdots+n^2)^n$

$n\sqrt[n]{1^2\cdot 2^2\cdots n^2}<1^2+2^2+\cdots+n^2$
Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим