2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как это решить методом мат индукции?
Сообщение16.09.2012, 22:13 
Аватара пользователя


16/09/12
2
Доказать нужно ТОЛЬКО методом мат индукции:
1) n^(n+1) > (n+1)^n, n>2
2) n^n >= (2n-1)!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как это решить методом мат индукции?
Сообщение16.09.2012, 23:32 
Аватара пользователя


16/09/12
2
Прошу прощения, ниже нормальной записью.
1)$n^{n+1}>(n+1)^n, n\geq3$
2)$n^n \geq (2n-1)!!$

Впрочем, первую уже не надо, решил:
Индукцию показать легко, предположение сделали.
Покажем, что $(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$.
$\frac{(n+1)^{n+2}\cdot n^{n+1}}{n^{n+1}} > \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}}$, исходя из предположения. Достаточно показать, что $\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}} > (n+2)^{n+1}$.
Извлечем корень $n+1$-й степени из левой и правой части. Имеем:
$\frac{(n+1)^2}{n}>n+2$. Далее через пропорцию очевидно.

-- 16.09.2012, 22:58 --

2-е тоже решилось...
Будем доказывать от правой части к левой. Т.е., $(2n-1)!!\leq n^n$.
База индукции очевидна. Тогда:
$(2n+1)!! =(2n-1)!!\leq n^n \cdot (2n+1)$
Покажем, что $n^n \cdot (2n+1) \leq (n+1)^{n+1}$
Можно переписать по пропорции, $\frac{2n+1}{n} \leq (\frac {n+1}{n})^{n+1}$.
Поскольку $(\frac {n+1}{n})^{n+1} \geq e$, то достаточно показать, что $(2+\frac{1}{n})\geq  e,  \forall  n\geq2$. Это неравенство очевидно, но у меня есть другие непонятные задачки.

Подкиньте, пожалуйста, идею доказательства индукцией (не определение, а идею) неравенства:
$(n!)^2 < (\frac{(n+1)(2n+1)}{6})^n, \forall n>1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как это решить методом мат индукции?
Сообщение17.09.2012, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Vania2105 в сообщении #619898 писал(а):
$(n!)^2 < (\frac{(n+1)(2n+1)}{6})^n, \forall n>1$

Пробовали логарифмироавть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как это решить методом мат индукции?
Сообщение17.09.2012, 08:57 


26/08/11
2057
Не по индукции, но все таки. Если умножить на $n^n$ в правую часть получим формулу суммы первых n квадратов
$n^n(n!)^2<(1^2+2^2+\cdots+n^2)^n$

$n\sqrt[n]{1^2\cdot 2^2\cdots n^2}<1^2+2^2+\cdots+n^2$
Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group