Фундаментальность и сходимость

[Asker Tasker]

Задание
Пусть $\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ - последовательность в $l_{2}$, причём при фиксированном $ n $ $\left\{ x_{n} \right\}$ определяется как последовательность, в которой первые $n^{2}$ членов равны $\frac{1}{n}$, а остальные - нули:
$\left\{ x_{n} \right\} = \left( \frac{1}{n}; \frac{1}{n}; ...; \frac{1}{n}; 0; 0; 0; ...\right)$.
Нужно проверить является ли данная последовательность фундаментальной и является ли она сходящейся в данном пространстве.

Попытка решения
Последовательность элементов метрического пространства $l_{2}$ фундаментальна, если
$\left( \forall \varepsilon > 0\right) ~ \exists N\left(\varepsilon\right): ~ \left( \forall n \geq N \right) ~ \left( \forall p \in \mathbb{N} \right)$
$\rho \left( x_{n+p}, x_{n} \right)=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}\left| x_{i}^{\left( n+p \right)} - x_{i}^{\left( n \right)}\right|^{2}} < \varepsilon$

$ \left| x_{i}^{\left( n+p \right)} - x_{i}^{\left( n \right)} \right| = \begin{cases} \left|\frac{1}{n+p} - \frac{1}{n} \right| = \frac{p}{n\left(n+p\right)} \text{ if } i=1,...,n^{2} \\ \frac{1}{n} \text{ if } x=n^{2}+1,...,\left( n+p \right)^{2} \\ 0 \text{ if } x > \left(n+p\right)^{2} \end{cases} $
Тогда $\sum_{i=1}^{\infty}\left| x_{i}^{\left( n+p \right)} - x_{i}^{\left( n \right)}\right|^{2} = n^{2} \cdot \frac{p}{n\left(n+p\right)} + \left( \left( n+p \right)^{2} - n^{2}\right) \cdot \frac{1}{n} + \sum_{i = \left( n+p \right)^{2} + 1}^{\infty}0 =$
$= \frac{np}{n+p} + \frac{2pn + p^{2}}{n}$

А что делать дальше? При фиксированном $p$ переходить к пределу по $n$? Тогда выходит, что предел $1 + 2p$ и последовательность фундаментальной не является (а значит и сходится не может).

Заранее спасибо.

[Oleg Zubelevich]

Если эта последовательность сходится то только к нулю, а к нулю она сходиться не может поскольку норма каждого ее члена равна 1

[Asker Tasker]

Норму мы пока не вводили. В пространстве задана по условию только метрика и и только ею и определениями фундаментальной и сходящейся последовательности мне нужно пользоваться.

[ewert]

Asker Tasker в сообщении #619580 писал(а):

В пространстве задана по условию только метрика

Это плохо -- труднее угадать доказательство. Ну тогда доказывайте нефундаментальность на примере $\rho(x_n,x_{2n})$; там оценка снизу волне очевидна.

[Asker Tasker]

ewert в сообщении #619614 писал(а):

Asker Tasker в сообщении #619580 писал(а):

В пространстве задана по условию только метрика

Это плохо -- труднее угадать доказательство. Ну тогда доказывайте нефундаментальность на примере $\rho(x_n,x_{2n})$; там оценка снизу волне очевидна.

Спасибо!
Но я уже разобрался. Оказалось проще, чем казалось сначала.