2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите выяснить точки - max/min?
Сообщение14.09.2012, 23:48 
Аватара пользователя
Решал задачу из Демидовича № 3652:
Найти экстремальные значения заданной неявно функции $z$ от переменных $x$ и $y$:
$x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$
Я решал системой и нашел эти точки:
$(2x-z+2)dx+(2y-z+2)dy+(2z-x-y+2)dz=0$
============================
$2x-z+2=0$
$2y-z+2=0$ $\xymatrix{\ar@{=>}[r]&} x=y$
$x = \frac{z}{2}-1$ подставляем в уравнение:
$x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$
============================
Решаем систему и находим
$z_{1}= 2\cdot\sqrt{6}-4$ при $x_{1}=y_{1}=\sqrt{6}-3$
$z_{2} = -2\cdot\sqrt6}-4$ при $x_{2}=y_{2}=-\sqrt{6}-3$

Подскажите как правильно определить точка ($z_{1}$ или $z_{2}$) явл. точкой $max$ или $min$?
Перепробовал кучу способов, но ответы так и не сошлись с ответом в задачнике.
Ответ в задачнике следующий: $z_{1}$ точка $max$, $z_{2}$ точка $min$.
Помогите пожалуйста!

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение15.09.2012, 13:48 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 
 
 
 Re: Помогите выяснить точки - max/min?
Сообщение15.09.2012, 16:27 
Аватара пользователя
Есть стандартная процедура через второй дифференциал, однако здесь можно проще ...

Подсказка: Тип поверхности Вам ничего не говорит? И точек подозрительных ровно две ...

 
 
 
 Re: Помогите выяснить точки - max/min?
Сообщение15.09.2012, 17:02 
Аватара пользователя
Цитата:
Тип поверхности Вам ничего не говорит? И точек подозрительных ровно две ...
Эллипсоид? То есть где $y$ больше другого $y$, в нашем случае это $y_{1}=\sqrt{6}-3$ - точка $max$? и наоборот?
Цитата:
Есть стандартная процедура через второй дифференциал, однако здесь можно проще ...
Подскажите пожалуйста про эту процедуру, я разными способами пытался но с ответом не совпадало.

 
 
 
 Re: Помогите выяснить точки - max/min?
Сообщение15.09.2012, 19:11 
Аватара пользователя
netang в сообщении #619204 писал(а):
Эллипсоид?

Да. А вот дальше ерунда - при чём здесь игрек? Какая из переменных здесь считается функцией, а какие независимыми?
Стандартная процедура изложена в любом учебнике, за часок, может быть и управитесь, только зачем?

Замкнутость и ограниченность поверхности и теорема Вейерштрасса в сочетании с двумя подозрительными точками позволяют вообще без вычислений записать ответ.

 
 
 
 Re: Помогите выяснить точки - max/min?
Сообщение15.09.2012, 21:10 
Аватара пользователя
$\frac{\partial^2 z_{1}}{\partial x_{1}^2} = A < 0 \Rightarrow z_{1} - \max$
$\frac{\partial^2 z_{2}}{\partial x_{2}^2} = A > 0 \Rightarrow z_{2} - \min$
Правильно или нет?

 
 
 
 Re: Помогите выяснить точки - max/min?
Сообщение15.09.2012, 22:36 
netang в сообщении #618982 писал(а):
Решал задачу из Демидовича № 3652:
Найти экстремальные значения заданной неявно функции $z$ от переменных $x$ и $y$:
$x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$

Условие того, что это уравнение имеет корни относительно $x$ это
$4y^2-4(z-2)y+3z^2+12z-12\leq0$, что возможно, когда у последнего неравенства есть
решения по $y$, что даёт $z^2+8z-8\leq0$ и завершает решение задачи.
Попутно выяснилось, что Демидович не ошибся.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group