Помогите выяснить точки - max/min?

[netang]

Решал задачу из Демидовича № 3652:
Найти экстремальные значения заданной неявно функции $z$ от переменных $x$ и $y$:
$x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$
Я решал системой и нашел эти точки:
$(2x-z+2)dx+(2y-z+2)dy+(2z-x-y+2)dz=0$
============================
$2x-z+2=0$
$2y-z+2=0$ $\xymatrix{\ar@{=>}[r]&} x=y$
$x = \frac{z}{2}-1$ подставляем в уравнение:
$x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$
============================
Решаем систему и находим
$z_{1}= 2\cdot\sqrt{6}-4$ при $x_{1}=y_{1}=\sqrt{6}-3$
$z_{2} = -2\cdot\sqrt6}-4$ при $x_{2}=y_{2}=-\sqrt{6}-3$

Подскажите как правильно определить точка ($z_{1}$ или $z_{2}$) явл. точкой $max$ или $min$?
Перепробовал кучу способов, но ответы так и не сошлись с ответом в задачнике.
Ответ в задачнике следующий: $z_{1}$ точка $max$, $z_{2}$ точка $min$.
Помогите пожалуйста!

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[bot]

Есть стандартная процедура через второй дифференциал, однако здесь можно проще ...

Подсказка: Тип поверхности Вам ничего не говорит? И точек подозрительных ровно две ...

[netang]

Цитата:

Тип поверхности Вам ничего не говорит? И точек подозрительных ровно две ...

Эллипсоид? То есть где $y$ больше другого $y$, в нашем случае это $y_{1}=\sqrt{6}-3$ - точка $max$? и наоборот?

Цитата:

Есть стандартная процедура через второй дифференциал, однако здесь можно проще ...

Подскажите пожалуйста про эту процедуру, я разными способами пытался но с ответом не совпадало.

[bot]

netang в сообщении #619204 писал(а):

Эллипсоид?

Да. А вот дальше ерунда - при чём здесь игрек? Какая из переменных здесь считается функцией, а какие независимыми?
Стандартная процедура изложена в любом учебнике, за часок, может быть и управитесь, только зачем?

Замкнутость и ограниченность поверхности и теорема Вейерштрасса в сочетании с двумя подозрительными точками позволяют вообще без вычислений записать ответ.

[netang]

$\frac{\partial^2 z_{1}}{\partial x_{1}^2} = A < 0 \Rightarrow z_{1} - \max$
$\frac{\partial^2 z_{2}}{\partial x_{2}^2} = A > 0 \Rightarrow z_{2} - \min$
Правильно или нет?

[arqady]

netang в сообщении #618982 писал(а):

Решал задачу из Демидовича № 3652:
Найти экстремальные значения заданной неявно функции $z$ от переменных $x$ и $y$:
$x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$

Условие того, что это уравнение имеет корни относительно $x$ это
$4y^2-4(z-2)y+3z^2+12z-12\leq0$, что возможно, когда у последнего неравенства есть
решения по $y$, что даёт $z^2+8z-8\leq0$ и завершает решение задачи.
Попутно выяснилось, что Демидович не ошибся.