Помогите, пожалуйста, с оптимальным управлением

[ivannz]

Здравствуйте, товарищи!!!

Надеюсь Вы поможете мне с решением или посоветуете материалы/статьи/учебники по проблеме данного рода)

Приступаю к изложению:

задача выбора оптимальной траектории управления $u$:

$$\int\limits_{0}^{T_1} F(t; u; x; \frac{d x}{d t}) dt \to extr$$

при условии

$$\frac{d x}{d t} : = ... + \int\limits_{0}^{T_2} f(u(t - \xi))\cdot \alpha(\xi) d\xi + ...$$

$F$ - хорошая функция от нескольких переменных
$f$ - неотрицательная неприрывная функция одного переменного (желательно линейная).
$T_1$ и $T_2$ известные величины
$\alpha(\xi)$ - известная неотрицательная неприрывная функция на интервале $[0; T_2]$.

$u$ - переменная управления; её можно доопределить на интервале $[-T_2; 0]$ - она на нём будет тождественным нулем.

я хотел бы понять как аналитически (желательно) решать такую задачу с такой бякой в уравнении дифференциальной связи .

Заранее спасибо
^_^
---------------
Иван Назаров

[ivannz]

Пожалуйста не молчите!

Если задача тривиальная/неразрешимая/плохо сформулированная и т.д не игнорируйте, выскажите всё как есть.

Или если это задача типа "включи мозги и сам решишь", хоть намекните на это.


спасибо

[Zai]

В задачах оптимального управления функции как правило разрывные. Например материальную точнку нужно переместить по прямой из покоя в покой. Половина времени с положительным максимальным ускорением, половина с максимальным отрицательным. В задачах с запаздыванием по управлению интеграл управляющей функции от начала движения и до времени Т. У вас какая то удивительнаЯ функция - это все же не управление материальной точкой, Если неизвестен вид функций упраления то возмите сначала алгебраический полином. Тогда дифур для Х решается аналитически, а верхний интеграл сведется к минимизации алгебраического выражения только для коэффициентов полинома. Если функция F не сложная, то все может свестись к системе линейных алгебраических уравнений. Если будет нелинейная и существенно то нужен метод Ньютона или что-то другое для решения.

[Скорцонер]

Перепишите эти два уравнения, как полагается для применения принципа максимума Понтрягина, (а всего будет четыре уравнения), составьте гамильтониан и проварьируйте его по управлению, как это делается в вариационном исчислении. Чтобы соблюдался принцип максимума, вариационная производная гамильтониана должна быть тождественно равной нулю на интервале $[0, T_2]$ для произвольной вариации $\delta\ u(t) $. Это даст некоторое интегральное условие, типа равенства нулю свертки вариации с некоторым ядром. Откуда будет проистекать условие что-то вроде сильной вырожденности для ядра. После чего останется решить систему уравнений в свертках, что, в принципе, хотя бы численно, можно сделать.