Непрерывная функция

[Ktina]

Эту задачу я придумала сама только что по мотивам вот этой олимпиады.

Существует ли непрерывная функция $f(x)$, определённая на всей числовой прямой и для всех $x$ удовлетворящая тождеству условию

$$f(x)\cdot f(1-x)\in\{x,\quad 1-x\}$$

?

[ИСН]

${\sqrt2\over2}+\sqrt{x-{1\over2}}$ справа от половины, а слева то же самое, только наоборот.

[Ktina]

ИСН в сообщении #618934 писал(а):

${\sqrt2\over2}+\sqrt{x-{1\over2}}$ справа от половины, а слева то же самое, только наоборот.

Можно проще.

[Руст]

Так как функция непрерывно, то значение $f(x)f(1-x)$ так же непрерывно и с одной возможности на другую может переключиться только в точке $x=\frac 12$. Если при $x>\frac 12$ $f(x)f(1-x)>\frac 12$, то для $y=1-x: f(y)f(1-y)=f(x)f(1-x)<\frac 12$ т.е. $f(x)f(1-x)=x,x>\frac 12, 1-x,x<\frac 12$. В симметричном случае наооборот с единственным переключением. Соответственно задача сводится к упомянутой. Введем $g(y)=f(\frac 12 +y)$, тогда

$$g(y)g(-y)=\frac 12 +|y|,$$

подходит решение $g(y)=\sqrt{\frac 12+|y|}$ или $f(x)=\sqrt{\frac 12+|x-\frac 12|}.$

[Ktina]

Руст в сообщении #618949 писал(а):

Так как функция непрерывно, то значение $f(x)f(1-x)$ так же непрерывно и с одной возможности на другую может переключиться только в точке $x=\frac 12$. Если при $x>\frac 12$ $f(x)f(1-x)>\frac 12$, то для $y=1-x: f(y)f(1-y)=f(x)f(1-x)<\frac 12$ т.е. $f(x)f(1-x)=x,x>\frac 12, 1-x,x<\frac 12$. В симметричном случае наооборот с единственным переключением. Соответственно задача сводится к упомянутой. Введем $g(y)=f(\frac 12 +y)$, тогда

$$g(y)g(-y)=\frac 12 +|y|,$$

подходит решение $g(y)=\sqrt{\frac 12+|y|}$ или $f(x)=\sqrt{\frac 12+|x-\frac 12|}.$

А чем плоха вот эта функция?
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}}, & x \ge \frac{1}{2} \\ \sqrt{2}\cdot x, & x<\frac{1}{2} \end{cases}

[Руст]

Цитата:

А чем плоха вот эта функция?
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}}, & x \ge \frac{1}{2} \\ \sqrt{2}\cdot x, & x<\frac{1}{2} \end{cases}

Не симметрична (но проще),

[Ktina]

Руст в сообщении #618958 писал(а):

Цитата:

А чем плоха вот эта функция?
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}}, & x \ge \frac{1}{2} \\ \sqrt{2}\cdot x, & x<\frac{1}{2} \end{cases}

Не симметрична (но проще),

На мой взгляд, она хоть и непрерывна, но не является непрерывно дифференцируемой. Я права?

[Руст]

Нет. Любая такая функция будет не дифференцируемой хотя бы в точке $x=\frac 12$. Моя функция $f(x)=\sqrt{\frac 12 +|x-\frac 12 |}=\sqrt{max(x,1-x)}$ так же не дифференцируемая. Кроме симметричности, имеется более простая запись в одну строчку.