Дифференциал

[Salvia]

Здравствуйте!
У меня возник вот какой вопрос.
Во время обучения остался не до конца осознанным один момент, который теперь здорово мешает дальнейшему освоению материала.
Как я понимаю дифференциал это, на письме, $dx$. Но я всегда писал его бездумно, "потому что так сказали".

Теперь хочу понять, что он значит? То есть производную по $x$? Но для меня - производная, это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Как оттуда появилась это обозначение, и что оно значит?
И почему производную записывают как $\frac{df}{dx}$, при чём тут дробь?
И что значит "домножим обе части уравнения на $dx$", как это вообще?

[ИСН]

Никаких дифференциалов нет.
Дифференциал - это не производная ни разу. Не.
Производная - есть. Она Ваш друг.
А дифференциалов нет.

[Shtorm]

ИСН

[vorvalm]

Дифференциал в переводе с английского означает разность.

[gris]

Не могу удержаться .
Один студент© тоже не верил в дифференциал. Говорил, что дифференциала никакого нет и на лекции не ходил. А однажды явилось ему уравнение в полных дифференциалах, он и помер. А перед смертью сказал: "Есть дифференциал!"
(из сказаний ИСН)

[Shtorm]

Salvia, дифференциал функции - это произведение производной этой функции на приращение аргумента.

[Salvia]

Задам вопрос по-другому: я не могу понять смысла этой записи: $dx$, какой смысл в неё вкладывают, и как ей оперируют?

[Shtorm]

Salvia, смысл - точечное приращение. То есть очень очень маленькое (элементарное) приращение аргумента.

[lena7]

Уже несколько разжёванных тем я видела на форуме по этому поводу. Пользуйтесь поиском.

Если резюмировать, то изначально дифференциал ничего строгого не означал -- просто "бесконечно малое приращение". Многие физики и инженеры до сих пор так считают и это не мешает им решать практические задачи. Затем дифференциал формализовался как главная часть приращения. Так он определён, например, в Фихтенгольце и, как следствие, во всех втузовских учебниках. Можно и дальше обобщать и абстрагироваться. Например, в современной дифференциальной геометрии дифференциал -- это касательное отображение, оно же производная и то, что на английском зовётся красивым словом pushforward. Есть ещё дифференциальные формы.

[Mitrius_Math]

Дифференциал функции одного вещественного аргумента - это главная линейная относительно $\Delta x$ часть приращения функции. Дифференциал аргумента - это его приращение: $dx=\Delta x $.

[мат-ламер]

А кто понимает такую вещь? Допустим есть дифференциальное уравнение с разделяющими переменными. Что означает запись $f(x)dx=g(y)dy$? И почему это выражение мы можем интегрировать? И что означает интеграл от этого всего?

[gris]

А это как раз то самое уравнение в полных дифференциалах. Частный случай.

[Shtorm]

мат-ламер, площадь одного элементарного прямоугольника равна площади другого элементарного прямоугольника. Интегрирование - суммирование этих прямоугольников.

[arseniiv]

vorvalm в сообщении #618754 писал(а):

Дифференциал в переводе с английского означает разность.

А разве разность не difference?

[мат-ламер]

gris в сообщении #619265 писал(а):

А это как раз то самое уравнение в полных дифференциалах.

И где здесь уравнение? Запись $f(x)dx=g(y)dy$ можно понимать так. Слева и справа задана функция от трёх переменных $x,y,dx$. ($dy$ - зависимая переменная). И равенство можно можно понимать, как поточечное равенство двух функций от трёх переменных. И как сюда приделать интеграл - совершенно непонятно. И где там искать прямоугольники - я тоже не понял. Обратившись к книгам, которые претендует на строгость (Арнольд, Картан, Сергеев) я обнаружил, что метод решения уравнения с разделяющими переменными надо выводить из метода решения уравнения в полных дифференциалах. Для понимания последнего достаточно знакомства с дифференциальными формами.