Обратимость матриц

[LeonDevil]

Привет всем!
Вопрос по обратимости матриц. Правильно ли я понимаю, что доказать обратимость матрицы это равносильно док-ву существования ненулевых собственных значений этой матрицы?

[ИСН]

Чуть-чуть иначе: "несуществования нулевых".

[LeonDevil]

Спасибо! Еще вопрос уже на примере.
Допустим есть матрица с диагональным преобладанием элементов (те диагональный элемент любой строки по модулю больше суммы элементов той же строки). Надо доказать ее невырожденность.
Как объяснял нам препод.
Обозначим через A - матрицу с диаг преобладанием. Тогда $A=D+R$, где D - матрица полученная из A удалением всех элементов, кроме диагональных, а R - оставшиеся соотвественно. Преобразуем $A=D+R=D \cdot (E+ D^{-1} \cdot R)$. Понятно, что D - обратима, надо проверить второй сомножитель. Рассмотрим $D^{-1} \cdot R$ и заметим, что $||D^{-1} \cdot R|| < 1$ где в качестве нормы использовалась любая (фробениуса или чебышева). Далее он сразу пишет что таким образом данная матрица $E + D^{-1} \cdot R$ обратима, в итоге доказано.

По сути этого не хватает, надо еще дать ограничение на собственные значения, т.е. $1 < Lamda(E+D^{-1} \cdot R) < 2$, Верно?

PS. Априори мы рассматриваем только те матричные нормы, которые согласованы с векторными, т.е $||A \cdot x || \leqslant ||A|| \cdot ||x|| $. Таким образом $|Lamda| \leqslant ||A||$.

[nnosipov]

LeonDevil в сообщении #618236 писал(а):

Допустим есть матрица с диагональным преобладанием элементов (те диагональный элемент любой строки по модулю больше суммы элементов той же строки). Надо доказать ее невырожденность.

Это довольно просто доказывается без всяких собственных значений, норм и пр. Достаточно знать определение линейно независимой системы векторов.

[LeonDevil]

nnosipov
Да, верно. Достаточно показать, что строки $E + D^{-1} \cdot R$ линейно-независимы. Просто препод решил пойти через Китай, не указав нормально дорогу. В итоге, не хватает оценки на Lambda, что действительно Lambda для такой матрицы не ноль.

[Munin]

(Оффтоп)

Лямбда пишется \Lambda $\Lambda,$ \lambda $\lambda.$ Точку для умножения можно не писать, просто буквы подряд.