Овал vs Эллипс. Пересечение с прямой.

[smartchecker]

В оригинале задача звучит так - Найти точки пересечения овала и прямой линии.
Как математически описать овал?

[Алексей К.]

Ну тут только фантазировать остаётся.
Не мог же нормальный автор сократить, скажем, "овал Кассини" до просто "овала".

Надо контекст выяснять --- что за предмет/курс, что за "оригинал". Прям обычный задачник, в типографии напечатанный? Нет ли в том оригинале где-то раньше определения.

Не проективная ли геометрия? Там что-то такое было, по-моему...

[ozes]

Общее определение такое.
Овал - это сечение цилиндрической поверхности плоскостью.
Эллипс - это сечение конической поверхности плоскостью.
Разница значительная.
Есть еще овалы Кассини, но это отдельная тема.

[Shtorm]

ozes в сообщении #617873 писал(а):

Общее определение такое.
Овал - это сечение цилиндрической поверхности плоскостью.
Эллипс - это сечение конической поверхности плоскостью.
Разница значительная.
Есть еще овалы Кассини, но это отдельная тема.

Если рассечь обычный круглый цилиндр плоскостью, параллельной основанию цилиндра - то получим окружность в сечениии. Окружность является частным случаем эллипса. Если рассечь обычный круглый цилиндр плоскостью наклонённой к основанию цилиндра под острым углом - то в сечении получится обычный эллипс.
Далее, параболический цилиндр - является цилиндрической поверхностью. Мы можем так рассечь эту цилиндрическую поверхность, что в сечении получим параболу.
И вообще к цилиндрической поверхности относятся столько разнообразных случаев, что в сечении и близко не будет ни овалов, ни эллипсов, ни парабол, ни гипербол.
Далее, сечениями конической поверхности являются не только эллипс - но и парабола, и гипербола.
Так что подкорректируйте Ваши определения или дайте ссылку откуда взяты такие определения.

[ozes]

Цитата:

Если рассечь обычный круглый цилиндр плоскостью наклонённой к основанию цилиндра под острым углом - то в сечении получится обычный эллипс.

Это Вам нужно подкорректировать свои знания и, самое главное, подкорректировать Ваше понимание математики и физики.
Повторяю еще раз:
Если цилиндр пересечь плоскостью, наклоненной к основанию цилиндра, то в сечении получится овал (а не эллипс!!!).
И хотя кривые овала и эллипса совпадают, но они разные по физико-математическому смыслу:
У эллипсов есть фокусы, а у овалов их нет.
У овалов есть только центр овала. Поэтому тело, движущееся по овалу, вращается вокруг центра овала, а тело, движущееся по эллипсу, вращается вокруг одного из фокусов эллипса.
Это не одно и тоже, согласитесь.

[arseniiv]

Нет, одно и то же. Овал (на самом деле, овалами называют кучу кривых, включая эллипс) с выделенным центром или эллипс с выделенным центром уже не будут овалом и эллипсом соответственно. Это будут упорядоченные пары из эллипса и точки.

[ozes]

Цитата:

Нет, одно и то же. Овал (на самом деле, овалами называют кучу кривых, а не только эллипс, лежащий на цилиндре) с выделенным центром или эллипс с выделенным центром уже не будут овалом и эллипсом соответственно. Это будут упорядоченные пары из эллипса и точки.

В данном случае Вы касаетесь сути спора между Кеплером и Кассини.
Правильно говорить так.
Если мы говорим и сечении цилиндрической поверхности плоскостью - то это овалы, и у них есть центр, но нет фокусов
Если мы говорим о сечении конической поверхности плоскостью - то это эллипсы, и у них есть фокусы.

О других возможных сечениях этих тел я здесь не говорю.

Применять термин эллипс к цилиндрической поверхности, вообще говоря, нельзя!
Но студенты и преподаватели этого, как правило, не знают.

[arseniiv]

ozes в сообщении #617914 писал(а):

Применять термин эллипс к цилиндрической поверхности, вообще говоря, нельзя!

Если у вашего овала все свойства эллипса, нет никакой разницы, называть его овалом или эллипсом.

[Shtorm]

ozes, давайте тогда разбираться. Если наклонной плоскостью рассечь круглый прямой цилиндр - то фигура полученная в сечении и называемая Вами овалом - и по кривизне и по уравнению будет отличаться от эллипса, по Вашему? Или просто отличие в названии, но не в самой кривой?

[ozes]

Цитата:

ozes, давайте тогда разбираться. Если наклонной плоскостью рассечь круглый прямой цилиндр - то фигура полученная в сечении и называемая Вами овалом - и по кривизне и по уравнению будет отличаться от эллипса, по Вашему? Или просто отличие в названии, но не в самой кривой?

Вы про Солнце забыли!
Берем одну и туже кривую, которую условно назовем овалоэллипсом.
Далее задаем вопрос: Где будет Солнце???

Если Солнце в центре - то это ОВАЛ!
Если Солнце в фокусе - то это ЭЛЛИПС!

Если овал, то поверхность цилиндрическая, и уравнение движения сводится к круговой траектории.
Если эллипс, то поверхность коническая, а уравнения не сводятся к круговым движениям никакими пребразованиями координат.

То есть, движение по овалу и движение по эллипсу - две большие разницы.
Хотя траектория движения может быть одной и той же.

[arseniiv]

Вы смешиваете эллипсы с парами (эллипс, положение Солнца).

[Shtorm]

ozes, ну то есть спор о названиях. А кривые одни и те же.
Мне в учебном процессе часто приходиться использовать не только термин "фокусы эллипса", но и термин "центр эллипса". Взял я уравнение эллипса на плоскости, без привязки ко всякому конусу или цилиндру. Взял карандаш и нарисовал этот эллипс, и нарисовал солнышко в фокусе эллипса. Потом стёр это солнышко, взял карандаш - и нарисовал солнышко в центре эллипса. Эллипс как был эллипсом - так эллипсом и остался. Я же изображаю не траектории планет в космосе. Я просто рисую геометрический эллипс и решаю задачи по аналитической геометрии.

[ozes]

Цитата:

ozes, ну то есть спор о названиях. А кривые одни и те же.

Ну, тогда и ряд Тейлора следует называть обыкновенным полиномом!
Зачем им разные названия?

Спор между Кассини и Кеплером как раз не в названии, а в сути этого вопроса.

А поскольку сами преподаватели эту суть не знают, и путают одно с другим, то для студентов это вообще "темный лес".
Хотя знать чем отличаются овал от эллипса безусловно должны и преподаватели и студенты, поскольку такие вопросы показывают уровень понимания материала

[Shtorm]

ozes в сообщении #617938 писал(а):

Ну, тогда и ряд Тейлора следует называть обыкновенным полиномом!
Зачем им разные названия?

После того как ряд Тейлора получен, то взяв несколько членов ряда - я имею право назвать это - полиномом. А Вы, получается отказываете мне в этом праве? И считаете, что тот овал, который Вы получили в сечении цилиндра- никак нельзя назвать эллипсом?

ozes в сообщении #617938 писал(а):

Спор между Кассини и Кеплером как раз не в названии, а в сути этого вопроса.

То есть суть - в получении фигуры? Но сама фигура одна и та же? Да или нет?

[arseniiv]

ozes в сообщении #617938 писал(а):

Ну, тогда и ряд Тейлора следует называть обыкновенным полиномом!

Ряд Тейлора не является полиномом. У полиномов есть какая-то конечная степень — у степенного ряда могут быть ненулевыми коэффициенты при любых степенях.

ozes в сообщении #617938 писал(а):

Хотя знать чем отличаются овал от эллипса безусловно должны и преподаватели и студенты, поскольку такие вопросы показывают уровень понимания материала

Овал отличается от эллипса большей общностью. Например, суперэллипс — тоже овал. Есть овал, составленный из дуг окружностей, и ещё не меньше континуума овалов разной формы.