Равенство чисел по интервалу

[vorvalm]

[quote="Апис в сообщении #589170"]
$\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} $ средний пробел для интервала $\left( {{p_n},p_n^2} \right)$
Вы внимательно и спокойно посмотрите на свою формулу. Она относится к интервалу $(p_{n+1},p^2_{n+1})$ или для вас это одно и то же?

[Апис]

Средний пробел действительный для указанного интервала или для меньшего но в границах данного интервала. Ответ на ваш вопрос - нет.

[vorvalm]

Это означает, что вы не знаете истоков этой формулы.

[Апис]

Вот так и знал, да интервал соотнёс с простым числом из формулы среднего пробела, лучшее восприятие. Это всё что нужно на данном этапе. Может хватит этих нюансов, уточнений, когда не решена проблема погрешности вычисления, проблема которая делает все наши уточняющие замечания пустыми, ненужными. Хватит.

[vorvalm]

Теоря чисел не терпит неоднозначности.

[Апис]

vorvalm в сообщении #589996 писал(а):

Теоря чисел не терпит неоднозначности

Посмотрите в пургатории "Доказать или показать на пример что" стр.10. (Тест на сообразительность). Неоднозначность в чистом виде

[vorvalm]

Спасибо, в свое время я туда уже заглядывал.

[Апис]

Множество, в котором элементы с одинаковыми свойствами
(Одно) число характеризуется не только величиной, но и свойствами числа.
Аксиомы Пеано ничего не говорят о свойствах числа. Мне нужно определение множества, в котором все элементы с одинаковыми свойствами, но нет аксиомы по свойствам числа.
Зачем мне это нужно? При определённых действиях, (часть) элементов множества меняет свойства, но выявить это можно только путём рассуждений, нет математического подхода для этого.

[Апис]

СОБЫТИЕ
Что подразумевают под словом (событие) специалисты, можно прочитать во многих трудах по данной тематике, мы же остановимся на определении, (событие) это то, что уже произошло, вне зависимости знаем мы об этом или нет и вне зависимости от широкого спектра, как общих, так и специальных толкований. Это определение принимаем для того, что бы представить события как объекты, имеющие между собой взаимодействия, взаимосвязи разной силы.
Событие не может возникнуть из ничего.
Событие, это замкнутая в круг цепочка из предшествующих событий. Событие, (замкнутая в круг цепочка) в свою очередь становится звеном открытой (не замкнутой) цепочки состоящей из событий. Которые связаны между собой взаимодействиями, взаимосвязями разной силы.
Любое событие оставляет след.
Так как между событиями всегда будут существовать взаимодействия, той или иной силы. А взаимодействия это след, по которому можно пройти от события, до события. Открытая цепочка благодаря взаимодействиям между событиями, будет существовать до замыкания в круг, до превращения в новое событие. В новом событии, теоретически, можно обнаружить следы всех предыдущих событий. Хотя практически, в большинстве случаев это невыполнимо.
Есть ли совершенно изолированные друг от друга события? Нет. Исчезновение между событиями любых взаимодействий, взаимосвязей, означает, между объектами - идеальная бесконечность. А это уже объекты из разных миров, они не знают о существовании друг друга.
События ожидаемые и не ожидаемые.
Есть несколько видов событий, одни события мы встраиваем в цепочку сами, они нам подвластны, из этих событий стремимся получить замкнутую цепочку, то есть новое ожидаемое, желаемое, подвластное нам событие. Но результат непредсказуем, потому что в цепочку встраиваются случайным образом (или целенаправленно) чужие не подвластные нам события
Приведёт ли замыкание цепочки, и ожидаемому событию? Или к не ожидаемому событию. Неведомо. Одно можно сказать, без наращивания цепи из своих подвластных событий, невозможно замыкание цепи в ожидаемое событие.

Вернёмся к проблеме аксиомы по свойствам числа.
В последнее время появилась тенденция, я её называю страсть к обобщению наоборот. Желание сразу (во всём), дойти до первоначальных основ, до первозданных кирпичиков, найти и решить общую проблему. Первый подход, общие проблемы появляются, из работы над частными вопросами. Второй подход, (наоборот), сначала общая проблема, потом посмотрим. Если знать меру в отклонениях от меры, оба подхода продуктивны. Но сползание в разговор ради разговора более возможен при втором подходе.
Свойства числа. Примем свойства числа за свершившееся событие, за существующий объект. Можно ли принять за аксиому, сам факт существования свойства числа? Тогда операции с числами принимаем за процесс наращивания цепочки из подвластных нам событий, в конце которой ожидаемый результат, цепочка замкнётся, и получим новое ожидаемое событие (результат). И параллельно идут операции со свойствами числа, которые мы тоже принимаем за процесс наращивания цепочки, но из не подвластных нам событий, в конце которой ожидаемый результат, в виде нового события. Что-то наподобие чёрного ящика, с одной стороны заложили, на выходе ожидаемое получили, а что внутри происходило не так важно. Главное результат был бы ожидаемый. Если я не могу объяснить противоречие, можно ли в такой способ обойти его?
Математический подход будет выглядеть так:
Найти количество простых чисел на интервале $\left( {0,p_n^2} \right)$
$p_n^2$ заложили в чёрный ящик - $p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
На выходе получили результат для интервала $\left( {{p_n},p_n^2} \right)$
У (n) чисел поменялись свойства, но отобразить это в математической форме невозможно. Что произошло в математическом плане, в чёрном ящике неважно, результат (при помощи рассуждений) мы ожидаем для интервала $\left( {{p_n},p_n^2} \right)$

[Апис]

ТОЧКА РАВНОВЕСИЯ.
$e{p_n}$
$e{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - 1$ Формула вычисления количества простых чисел на интервале $\left( {{p_n},e{p_n}} \right)$
Точки равновесия – в этих точках, величины погрешности при вычислении количества простых чисел на интервале меняют периодически свой знак.

Доказательство существования и нахождение минимальной точки равновесия.

$\[{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ Этот результат есть чистая погрешность вычисления. Это следует из выкладок по выводу формулы алгоритма решета Эратосфена. Первый шаг, каждое простое число вычитает из величины погрешности вычисления, величину равную $\[\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)\]$ отсюда, величину чистой погрешности делим, на вычитаемую разовую величину $\[\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)\]$ и получим $\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\]$ результат, количество простых чисел, которые погашают всю погрешность. Что дальше. Как минимум на отрезке столько же составных чисел, сколько и простых чисел погашающих всю погрешность вычисления. Каждое составное число прибавляет к погрешности вычисления величину равную $\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ Отсюда второй шаг. При погашении всей погрешности, появляется новая погрешность вычисления, равная $\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ её опять делим на вычитаемую разовую величину $\[\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)\]$ и получаем количество простых чисел погашающих и эту новую погрешность вычисления

И так далее.

$\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\]$

$\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + \left( {\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + .....\]$

$\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + \left( {\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + \left( {\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right){\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)^2} + .....\]$

$\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + \left( {\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right) + \left( {\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right){\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)^2} + \left( {\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right){\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)^3} + .....\]$

$\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\left[ {1 + \left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right) + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^3} + ....} \right]\]$

Сравним

$\[\frac{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\left[ {1 + \left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right) + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^3} + ....} \right] = e{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$

n>1

$\[\frac{1}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\left[ {1 + \left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right) + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^3} + ....} \right] \approx e\]$

Предел суммы ряда мне не вычислить, (если он есть), необходимо и достаточно (для доказательства) количество слагаемых ряда ограничить числом (n)

$\[\frac{1}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\left[ {1 + \left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right) + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^3} + .... + {{\left( {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)}^n}} \right] \approx e\]$

Доказано, существования и нахождение минимальной точки равновесия $\[e{p_n}\]$

[Апис]

Нахождение погрешности вычисления.

Формула вычисления количества простых чисел на интервале $\[\left( {{p_n},p_n^2} \right)\]$
$\[\frac{{{p_n}\left( {{p_n} - 1} \right)}}{{{{10}^k}}}\left\lfloor {{{10}^k}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right\rfloor \]$
k – разряд числа p_n, антье от $\[\left\lfloor {{{10}^k}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right\rfloor \]$ P_n – простое число, n – номер простого числа, Е – погрешность вычисления.
Изменение значения разряда (k-1)(k)(k+1) даёт плавное изменение погрешности вычисления от отрицательных значений к положительным значениям.
Например: P_n=719 k=10^3 Количество простых чисел на интервале =42692
1) k=2 719*718/[100*0,0848594830986856]=41299,36 Е=41299-42692=-1393
2) k=3 719*718/[1000*0,0848594830986856]=43364,328 E= 43364-42692=672
3) k=4 719*718/[10000*0,0848594830986856]= 43777,3216 E=43777-42692=1085
4) k=5 719*718/[100000*0,0848594830986856]=43803,1337 E=43803-42692=1111

[Апис]

Апис в сообщении #653388 писал(а):

k – разряд числа p_n, антье от $\[\left\lfloor {{{10}^k}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right\rfloor \]$

Хочу спросить, есть ли похожие темы, где при вычислении необходимо отбрасывать знаки, которые искажают результат.

[Апис]

Кто нибудь, имел дело с издательством (Science Publishing Group, USA) https://r.mail.yandex.net/url/idEzfgE-w ... oup.com%2F Буду благодарен за любую информацию