Некоторые вопросы по сходимости почти наверное (теорвер)

[ShMaxG]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться. Верно ли написанное ниже?

Пусть дана случайная последовательность $\[\left\{ {{\xi _n}} \right\}_{n = 1}^\infty \]$, известны распределения всех $\[{{\xi _n}}\]$, известно распределение с.в. $\[\xi \]$ к которой требуется проверить сходимость последовательности $\[\left\{ {{\xi _n}} \right\}_{n = 1}^\infty \]$ в смысле п.н.

Тогда бывают два случая:

1. Данной информации недостаточно для определения сходимости п.н. Например, пусть $\[{\xi _n} \in Be\left( {\frac{1}{n}} \right)\]$, $\[\xi = 0\]$. Тогда, задав вероятностное пространство $\[\left( {\left[ {0,1} \right],B\left( {\left[ {0,1} \right]} \right),\lambda } \right)\]$ можно предложить два разных отображения $\[\omega \to {\xi _n}\left( \omega \right)\]$: в одном случае сходимость п.н. имеет место, в другом нет.

2. Данной информации достаточно для определения сходимости п.н. Например, пусть $\[{\xi _n} \in Be\left( {\frac{1}{n^2}} \right)\]$ и $\[\xi = 0\]$. В этом случае имеет место п.н. вне зависимости от того, на каком конкретно вероятностном пространстве заданы функции $\[{\xi _n}\]$ и, соответственно, какие конкретно заданы отображения $\[\omega \to {\xi _n}\left( \omega \right)\]$.

[Henrylee]

Доказательство сходимости во втором примере имеется? Не понял чем в этом смысле отличаются
$Be(1/n)$ и $Be(1/n^2)$ ($Be$ это ведь Бернулли, да?)

Для примера я бы взял $\xi\stackrel{d}{=}const$, тогда $\xi_n\stackrel{\Prob}{\to}\xi$, а все случайные величины задал бы на атомическом вероятностном пространстве (где сходимости по вероятности и почти наверное эквивалентны).

[Padawan]

Henrylee
Во втором из леммы Бореля-Кантелли следует. А отличаются тем, что ряд $\sum \frac{1}{n}$ расходится, а $\sum \frac{1}{n^2}$ -- сходится.

[_hum_]

Если у вас заданы $\xi_i$, то значит, и вероятностное пространство уже дано. Соответственно, множество $M$ точек, в которых обычная поточечная сходимость присутствует, тоже надо считать заданным. Таким образом, для установления сходимости п.н. необходимо и достаточно будет выяснить меру множества $M$. А для этого потребуется иметь оценку для мер множеств $A_{i, k} = \{\omega: |\xi_i(\omega) - \xi(\omega)| < 1/k\}$, которую, как мне кажется, можно добыть из информации о с.в., только если владеть информацией о совместном распределении этих с.в.

[--mS--]

ShMaxG в сообщении #616095 писал(а):

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться. Верно ли написанное ниже?

Верно.

[ShMaxG]

--mS--
Спасибо!

И еще одно маленькое уточнение.

УЗБЧ (Колмогоров).
Пусть дана последовательность одинаково распределенных и независимых в совокупности случайных величин $\[\left\{ {{\xi _n}} \right\}_{n = 1}^\infty \]$. Тогда

$$\[\left( {\exists {\mathbf{E}}{\xi _i} = a} \right) \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _i}} \xrightarrow[{n \to \infty }]{{a.s.}}a} \right)\]$$

Я так понимаю, что здесь (опять же) совершенно не важно, на каком вероятностном пространстве заданы $\[{{\xi _n}}\]$ и какие отображения $\[\omega \to {\xi _n}\left( \omega \right)\]$ имеются ввиду?

[--mS--]

Разумеется, на одном и том же. Остальное действительно не важно, если они при этом независимы и одинаково распределены. Независимость сама по себе есть довольно жёсткое ограничение на отображения.

[ShMaxG]

Ясно, спасибо.