бинарные отношения, порядки.

[JuliaKo]

Всем добрый день. В попытках изучить тонкости бинарных отношений наткнулась на такую задачу:
Пусть P - бинарное отношение на $A^2$ такое, что $(a,b)P(c,d)\Leftrightarrow$ $(a\leqslant c)\bigwedge&(b\leqslant d)$. Является ли P отношением порядка (какого)?

Возможно, следует для начала каким-то образом найти все бинарные отношения в данном множестве, мне приходит в голову только (a,c) и (b,d). По идее, надо проверить отношение на свойства (рефлективность, симметричность, транзитивность), но исходя только из этих двух отношений, ничего тут нет. Поэтому, вероятно, я просто не знаю как найти бинарные отношения по такому условию... Подскажите, направьте, как следует мыслить.

[AV_77]

Зачем искать все бинарные отношения, если спрашивается про одно, которое обозначено как $P$?
Для начала надо проверить, удовлетворяет ли отношение $P$ свойствам отношения частичного порядка - рефлексивность, транзитивность и антисимметричность.

[JuliaKo]

так, ну $a\leqslant c$ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Так же, как и $b\leqslant d$. Их конъюнкция, вероятно, будет иметь такие же свойства. Верно?

[bot]

Верно что? Утверждение или его доказательство. Про первое говорить не стану - сами подумайте, а про второе скажу - это не доказательство.
Впрочем и условие совершенно неясное. Что такое $A$ и какое отношение $\leqslant$ на нём рассматривается?

[arseniiv]

Отношение $J \subset W \times W$ рефлексивно, если для любого $h \in W$ выполняется $h \mathrel J h$. Теперь сделаем замены всех этих букв на то, что нам сейчас нужно: $W \mapsto A^2$, $J \mapsto P$, $h \mapsto (a, b)$ и получим, что $P$ рефлексивно, если для любой пары $(a, b)$ из $A^2$ выполняется $(a, b) \mathrel P (a, b)$ — вот это и проверяйте. Конструирование формул вида $(a, c)$ и $(b, d)$ ничем не поможет.

-- Вс сен 09, 2012 01:26:21 --

Ну а $(a, b) \mathrel P (a, b) \Leftrightarrow (a \leqslant a) \wedge (b \leqslant b)$, и, если под $\leqslant$ понимается ожидаемое, $P$ рефлексивно. Но…