задача алгебра 8 класс

[Digiter]

Цитирую задачу дословно:

Докажите, что из равенства $\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c = \dfrac{1}{a + b + c}$ при нечетном $m$ вытекает равенство

\[ \dfrac1{a^m} + \dfrac1{b^m} + \dfrac1{c^m} = \dfrac{1}{a^m + b^m + c^m} \]

не понимаю, куда здесь копать?
Пусть: $a^m = x, b^m = y, c^m = z$, тогда:
\begin{gather*} \frac{yz + xz + xy}{xyz} = \frac{1}{x + y + z} \\ (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz \\ x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz = 0 \\ 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz = 0 \\ (x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 \\ (a^m + b^m + c^m)^3 = a^{2m} + b^{3m} + c^{3m} \end{gather*}

это вообще какая то чепуха

[mihailm]

По индукции очевидно

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #616097 писал(а):

По индукции очевидно

В восьмом классе?

[nnosipov]

Digiter в сообщении #616089 писал(а):

... равенства $\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c = \dfrac{1}{a + b + c}$

Поработайте с этим равенством и обнаружьте, что среди чисел $a$, $b$, $c$ обязательно найдётся пара противоположных.

[Digiter]

а это как?
я вроде все что мог уже сделал в первом посте, только $x, y, z$ заменить вместо $a^m, b^m, c^m$ на $a, b, c$ соответственно

[mihailm]

Mitrius_Math в сообщении #616106 писал(а):

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #616097 писал(а):

По индукции очевидно

В восьмом классе?

на это можно ответить наверно так:
ТАКОЕ ЗАДАНИЕ в восьмом классе???

индукция нормально проходится в мало-мальски продвинутом восьмом классе (видимо о школе вы имеете довольно смутные познания)
В книге ленинградские маткружки матиндукция проходится в 7 классе

[Shadow]

Если посмотреть на исходное равенство как на уравнение относительно с, то наверное получится квадратное уравнение с очевидными корнями $c_1=-a,c_2=-b$ Конечно, если $a\ne -b$

-- 08.09.2012, 11:33 --

Значит, исходное равенство можно свести к $(a+b)(b+c)(c+a)=0$

-- 08.09.2012, 11:40 --

Что очень хорошо видно из вашего третьего уравнения

[Digiter]

Shadow
я понял что:
\begin{gather*} \frac{1}{a^m} + \frac{1}{b^m} + \frac{1}{c^m} = \frac{1}{a^m + b^m + c^m} \\ a^m = x, b^m = y, c^m = z \\ \frac{xy + yz + xz}{xyz} = \frac{1}{x + y +z} \\ x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 + 2xyz = 0 \\ (y + z)x^2 + (y + z)^2x + yz(y + z) = 0 \\ (x + y)(y + z)(x + z) = 0 \end{gather*}

учитывая, что степень нечетная, какие два числа из $a, b \text{ и } c$ одного знака. а третье другого

но я совсем не понял, какое это имеет отношение к решению задачи?

[ИСН]

nnosipov в сообщении #616110 писал(а):

Поработайте с этим равенством и обнаружьте, что среди чисел $a$, $b$, $c$ обязательно найдётся

не скажу что

[Keter]

nnosipov прав. Скорее всего это очень простое задание для восьмого класса. И здесь имелось ввиду то, что нечетная степень не влияет на знак.

[Digiter]

я понял!

для правильности уравнения $(x + y)(y + z)(x + z) = 0$ достаточно одного равенства, скажем $x = -y$, тогда равенство
\begin{gather*} \frac{1}{a^m} + \frac{1}{b^m} + \frac{1}{c^m} = \frac{1}{a^m + b^m + c^m} \end{gather*}
обращается в верное равенство:
\begin{gather*} \frac{1}{b^m} - \frac{1}{b^m} + \frac{1}{c^m} = \frac{1}{b^m - b^m + c^m} \\ \frac{1}{c^m} = \frac{1}{c^m} \end{gather*}

[ИСН]

[Digiter]

Вот еще задачка непонятная
Доказать, что если $a^3 + b^3 + c^3 = (a + b)(b + c)(a + c)$ и $x(b^2 + c^2 - a^2) = y(a^2 + c^2 - b^2) = z(a^2 + b^2 - c^2)$ то

\[ x^3 + y^3 + z^3 = (x + y)(y + z)(x + z) \]

Тут не получается никакого уравнения как в первой задаче, я уже все перепробовал. Все, что смог сделать так это:
\begin{gather*} a^3 + b^3 + c^3 = (a + b)(b + c)(a + c) \\ a^3 + b^3 + c^3 = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + 2abc \\ a(b^2 + c^2 - a^2) + b(a^2 + c^2 - b^2) + c(a^2 + b^2 - c^2) = -2abc \end{gather*}

[Digiter]

Кажется, не туда копал...
Если положить в уравнении $a^3 + b^3 + c^3 = (a + b)(b + c)(a + c)$ $a = -b$, то то правая часть обращается в нуль, тогда имеем $-b^3 + b^3 + c^3 = 0$, т. е. $c = 0$.
Но тогда из равенства $x(b^2 + c^2 - a^2) = y(a^2 + c^2 - b^2) = z(a^2 + b^2 - c^2)$ получается вот что:
\begin{gather*} 0 = 0 = (a^2 + b^2)z \\ a = b = 0 \end{gather*}
т. е. $a = b = c = 0$ и как тут рассуждать дальше?