2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 08:30 
Цитирую задачу дословно:

Докажите, что из равенства $\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c = \dfrac{1}{a + b + c}$ при нечетном $m$ вытекает равенство
\[
\dfrac1{a^m} + \dfrac1{b^m} + \dfrac1{c^m} = \dfrac{1}{a^m + b^m + c^m}
\]

не понимаю, куда здесь копать?
Пусть: $a^m = x, b^m = y, c^m = z$, тогда:
\begin{gather*}
\frac{yz + xz + xy}{xyz} = \frac{1}{x + y + z} \\
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz \\
x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz = 0 \\
3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz = 0 \\
(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 \\
(a^m + b^m + c^m)^3 = a^{2m} + b^{3m} + c^{3m}
\end{gather*}

это вообще какая то чепуха

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 09:27 
По индукции очевидно

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 10:07 

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #616097 писал(а):
По индукции очевидно


В восьмом классе? :roll:

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 10:19 
Digiter в сообщении #616089 писал(а):
... равенства $\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c = \dfrac{1}{a + b + c}$
Поработайте с этим равенством и обнаружьте, что среди чисел $a$, $b$, $c$ обязательно найдётся пара противоположных.

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 10:35 
а это как?
я вроде все что мог уже сделал в первом посте, только $x, y, z$ заменить вместо $a^m, b^m, c^m$ на $a, b, c$ соответственно :?:

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 10:46 
Mitrius_Math в сообщении #616106 писал(а):

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #616097 писал(а):
По индукции очевидно


В восьмом классе? :roll:


на это можно ответить наверно так:
ТАКОЕ ЗАДАНИЕ в восьмом классе???

индукция нормально проходится в мало-мальски продвинутом восьмом классе (видимо о школе вы имеете довольно смутные познания)
В книге ленинградские маткружки матиндукция проходится в 7 классе

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 10:48 
Если посмотреть на исходное равенство как на уравнение относительно с, то наверное получится квадратное уравнение с очевидными корнями $c_1=-a,c_2=-b$ Конечно, если $a\ne -b$ :D

-- 08.09.2012, 11:33 --

Значит, исходное равенство можно свести к $(a+b)(b+c)(c+a)=0$

-- 08.09.2012, 11:40 --

Что очень хорошо видно из вашего третьего уравнения

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 15:25 
Shadow
я понял что:
\begin{gather*}
\frac{1}{a^m} + \frac{1}{b^m} + \frac{1}{c^m} = \frac{1}{a^m + b^m + c^m} \\
a^m = x, b^m = y, c^m = z \\
\frac{xy + yz + xz}{xyz} = \frac{1}{x + y +z} \\
x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 + 2xyz = 0 \\
(y + z)x^2 + (y + z)^2x + yz(y + z) = 0 \\
(x + y)(y + z)(x + z) = 0
\end{gather*}

учитывая, что степень нечетная, какие два числа из $a, b \text{ и } c$ одного знака. а третье другого

но я совсем не понял, какое это имеет отношение к решению задачи?

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 15:35 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #616110 писал(а):
Поработайте с этим равенством и обнаружьте, что среди чисел $a$, $b$, $c$ обязательно найдётся

не скажу что

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 16:06 
nnosipov прав. Скорее всего это очень простое задание для восьмого класса. И здесь имелось ввиду то, что нечетная степень не влияет на знак.

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 16:11 
я понял!

для правильности уравнения $(x + y)(y + z)(x + z) = 0$ достаточно одного равенства, скажем $x = -y$, тогда равенство
\begin{gather*}
\frac{1}{a^m} + \frac{1}{b^m} + \frac{1}{c^m} = \frac{1}{a^m + b^m + c^m}
\end{gather*}
обращается в верное равенство:
\begin{gather*}
\frac{1}{b^m} - \frac{1}{b^m} + \frac{1}{c^m} = \frac{1}{b^m - b^m + c^m} \\
\frac{1}{c^m} = \frac{1}{c^m}
\end{gather*}

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение08.09.2012, 16:12 
Аватара пользователя
:appl:

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение10.09.2012, 17:42 
Вот еще задачка непонятная
Доказать, что если $a^3 + b^3 + c^3 = (a + b)(b + c)(a + c)$ и $x(b^2 + c^2 - a^2) = y(a^2 + c^2 - b^2) = z(a^2 + b^2 - c^2)$ то \[
x^3 + y^3 + z^3 = (x + y)(y + z)(x + z)
\]

Тут не получается никакого уравнения как в первой задаче, я уже все перепробовал. Все, что смог сделать так это:
\begin{gather*}
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b)(b + c)(a + c) \\
a^3 + b^3 + c^3 = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + 2abc \\
a(b^2 + c^2 - a^2) + b(a^2 + c^2 - b^2) + c(a^2 + b^2 - c^2) = -2abc
\end{gather*}

 
 
 
 Re: задача алгебра 8 класс
Сообщение11.09.2012, 16:52 
Кажется, не туда копал...
Если положить в уравнении $a^3 + b^3 + c^3 = (a + b)(b + c)(a + c)$ $a = -b$, то то правая часть обращается в нуль, тогда имеем $-b^3 + b^3 + c^3 = 0$, т. е. $c = 0$.
Но тогда из равенства $x(b^2 + c^2 - a^2) = y(a^2 + c^2 - b^2) = z(a^2 + b^2 - c^2)$ получается вот что:
\begin{gather*}
0 = 0 = (a^2 + b^2)z \\
a = b = 0
\end{gather*}
т. е. $a = b = c = 0$ и как тут рассуждать дальше?

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group