Я просто не до конца понял причину отсутствия модулей в логарифме после интегрирования. Их ведь просто опускают в ДУ или как?
"Или как." Вот смотрите: Ваше исходное уравнение

определено для любой дважды дифференцируемой функции

. Принимая

за независимую переменную, Вы исключаете функции

, что может привести (но в данном случае не приводит) к потере соответствующих решений (если что, их можно найти подстановкой

в исходное уравнение). При этом Вы получаете уравнение

которое определено определено при всех

и всех дифференцируемых функций

. Преобразуя его к виду

Вы теряете решения

, то есть,

. Дальше Вы интегрируете. Делаете Вы это как-то странно; стандартно надо просто заметить, что

, и получится

Избавившись от логарифмов, получим

Знаки модуля вокруг

и

можно снять, включив возникающий при этом "

" в произвольную постоянную

. Заметим, что здесь

, так как

не является решением исходного уравнения.
Если мы опустим модули после интегрирования, то вместо последнего уравнения получим либо

, либо

в зависимости от деталей вычисления интеграла. В первом случае мы потеряем все решения, в которых

, а во втором, напротив, все решения, в которых

.
Только у меня сомнение осталось на счет

: можно ли записать так, вместо просто

?
Это произвольная постоянная. Как Вы её обозначите -

,

или ещё как-нибудь - это целиком Ваше дело, лишь бы она могла принимать все значения, допускаемые уравнением.