Что фундаментальнее: ур-ние эйконала или канонические ур.-я?

[В. Войтик]

Как известно дифференциал действия как функции координат и времени есть
$dS(q_i^{2},q_i^{1},t^{2},t^{1}) = p_i^{2}dq_i^{2} - H^{2}dt^{2} - p_i^{1}dq_i^{1} + H^{1}dt^{1}$ (1)
где верхние индексы над $q_i$ относятся к конечному и начальному состоянию механической системы, $t^2$,$t^1$ конечный и начальный момент времени.
Данный дифференциал всегда является полным, а функция действия $S(q_i^2,q_i^1,{t^2},{t^1})$ полностью характеризует механическую систему. Но функцию действия в левой стороне равенства (1) не всегда можно представить как разность эйконала – т.е. общей функции зависящей только от координат и времени на концах интервала. Другими словами данное уравнение
$S(q_i^2,q_i^1,{t^2},{t^1}) = S(q_i^2,{t^2}) - S(q_i^1,{t^1})$ (2)
не всегда выполняется для голономных механических систем.
Это утверждение хорошо согласуется с известным фактом, что общего метода интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби не существует. Поэтому в общем случае произвольной системы координат, выражение
${p_i}d{q_i} - Hdt = \delta S ({q_i},t)$ (3)
является неполным дифференциалом, что и подчёркнуто буквой дельта.
Таким образом, метод Гамильтона-Якоби менее общий чем метод канонических уравнений, поскольку полный интеграл для уравнения эйконала существует не всегда. Есть ли здесь ошибка?

[В. Войтик]

С другой стороны я чего -то здесь не понимаю...Фиксируем начальное положение, тогда из (1) следует
$dS(q_i^{2},t^{2}) = p_i^{2}dq_i^{2} - H^{2}dt^{2} $
Фиксируем конечное
$dS(q_i^{1},t^{1}) = - p_i^{1}dq_i^{1} + H^{1}dt^{1}$
Поэтому уравнение (2) должно выполняться.
Но ведь функцию действия в левой стороне равенства (1) не всегда можно представить как разность эйконала... Так всё-таки в уравнении (3) всегда полная производная или не обязательно полная?

-- Сб сен 01, 2012 14:25:32 --

[В. Войтик]

Сейчас заинтересовался историей открытия теории Гамильтона-Якоби. Оказывается везде в работах Гамильтона было действие как функция двух наборов координат: начального и конечного положения. А Якоби считал, что использование двух наборов координат только затуманивает суть замечательного открытия Гамильтона.
Но ведь существуют простые голономные механические системы, эйконал которых вообще не вычисляется... Значит получается, что Якоби неправ?

[В. Войтик]

Индексы 1 и 2 опустим вниз( чтобы отличить индекс 2 от квадрата величины). В принципе нетрудно показать на простом примере, что (2) верно не всегда.
Действительно, для простоты рассмотрим укороченное действие, предположим, что уравнение (2)
$S({{q}_{2i}},{{q}_{1i}})=S({{q}_{2i}})-S({{q}_{1i}})$ (2)
истинно и найдём функцию «действия» $H(p_{i2},p_{i1})$ в импульсном представлении согласно формуле
$H({{p}_{i1}},{{p}_{i2}})=S({{q}_{i2}},{{q}_{i1}})-{{p}_{i2}}{{q}_{i1}}+{{p}_{i1}}{{q}_{i1}}$ (4)
в которой все координаты выражены через импульсы из формул
${{p}_{i1}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{i1}}}$
${{p}_{i2}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{i2}}}$
Из (2) и (4) следует, что
$H({{p}_{i1}},{{p}_{i2}})=\left( S({{q}_{i2}})-{{p}_{i2}}{{q}_{i2}} \right)-\left( S({{q}_{i1}})-{{p}_{i1}}{{q}_{i1}} \right)=H({{p}_{i2}})-H({{p}_{i1}})$ (5)
То есть если справедливо (2), то «действие» в импульсном представлении тоже должно всегда быть разностью «эйконалов». Однако, если рассматривать движение пучков частиц в аксиальной фокусирующей системе, то функция «действия» $H(p_{i2},p_{i1})$ в импульсном представлении будет равна (вблизи оси симметрии, $\mathbf{n}$-единичный вектор оси симметрии) будет равна

$H(p_{i1},p_{i2})=\operatorname{const}+\alpha {{\mathbf{p}}_{1}}{{\mathbf{p}}_{2}}+\beta {{({{\mathbf{p}}_{1}}\mathbf{n})}^{2}}+\gamma {{({{\mathbf{p}}_{2}}\mathbf{n})}^{2}}$

(ЛЛ, т. 2, глава посвящённая распространению света, тонкие пучки лучей)
Очевидно эта функция не является разностью другой функции, зависящей только от или начальных или конечных импульсов. Это означает, что (5), а значит и (2) в общем случае не выполняются. Есть ли ошибки?

-- Вт сен 04, 2012 11:33:56 --

А если ошибок нет, то как понимать вот это

В. Войтик в сообщении #613332 писал(а):

Фиксируем начальное положение, тогда из (1) следует
$dS(q_{i2},t_{2}) = p_{i2}dq_{i2} - H_{2}dt_{2} $
Фиксируем конечное
$dS(q_{i1},t_{1}) = - p_{i1}dq_{i1} + H_{1}dt_{1}$
Поэтому уравнение (2) должно выполняться.