вопрос про векторные поля

[vornczo]

Пусть есть система $n$ дифференциальных уравнений $\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{v(x)}$. И хотелось бы изучить векторное поле $\boldsymbol{v(x)}$.
Пусть мы нашли поле $\boldsymbol{u(x)}$ такое что $[\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}]=0$ вроде как тогда $\boldsymbol{u(x)}$ называют полем симметрий, но хотелось бы знать что геометрически значит что у поля $\boldsymbol{v}$ есть поле симметрий $\boldsymbol{u}$. Рассмотрим еще один случай пусть мы нашли некоторый набор векторных полей $\boldsymbol{u_1},..,\boldsymbol{u_p}$
и пусть эти поля вместе с исходным полем $\boldsymbol{v}$ образуют алгебру Ли относительно коммутатора, и вопрос тот же самый что это значит геометрический для поля $\boldsymbol{v}$, что мы нашли поля которые которые образуют алгебру Ли. Какая вообще польза от найденных полей при исследований исходного поля $\boldsymbol{v}$?

[Oleg Zubelevich]

В В Козлов Симметрии топология резонансы в гамильтоновой механике
П Олвер Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям

[Munin]

Ну вот допустим, взяли вы глобус (на плоскости тоже можно, но не так наглядно), и в каждой его точке нарисовали вектор $\mathbf{v}.$ Причём, от параллели к параллели длина и направление вашего вектора меняются, а от меридиана к меридиану - нет. То есть, если глобус повернуть вокруг земной оси, ваше векторное поле наложится само на себя. И вы хотите как-то выразить этот факт.

Тогда вы говорите, что есть другое векторное поле $\mathbf{u},$ которое осуществляет поворот на бесконечно малый угол, и оно является полем симметрии вашего векторного поля $\mathbf{v}.$

Вот такой геометрический смысл. Аналогично на плоскости, аналогично многомерный случай.

Польза: мы можем, например, взять решение дифура $\mathbf{\dot{x}=v(x)},$ сдвинуть его по полю симметрий, и получить другое решение. Как если мы берём линию на глобусе, и поворачиваем её вокруг полюса. Можем сделать какие-нибудь выводы о поведении всех решений, из топологических соображений. Например, что линии решений дифура могут или подходить к северному полюсу, или расходиться от него, но не то и другое вместе. И не могут колебаться в ограниченной полосе вокруг экватора.

[vornczo]

Спасибо за ответ. То есть наличие поля симметрий можно связать с тем что есть преобразование переводящее исходное поля в само себя, но в общем случае как я понимаю это не обязательно поворот? А как насчет существования других тензоров производная Ли от которых вдоль исходного поля равна нулю ? И есть ли вообще алгоритмы как искать инварианты системы дифференциальных уравнений: поля симметрий и т.д. или критерии их существования. В примерах которые мне попадались складывалось впечатление что поле симметрий "угадали". Сразу прошу прощения за свою навязчивость, но вопрос мне кажется интересным и важным.

[Munin]

vornczo в сообщении #613604 писал(а):

То есть наличие поля симметрий можно связать с тем что есть преобразование переводящее исходное поля в само себя, но в общем случае как я понимаю это не обязательно поворот?

Да, это преобразование, переводящее точку в точку "в соответствии" с другим полем.

vornczo в сообщении #613604 писал(а):

А как насчет существования других тензоров производная Ли от которых вдоль исходного поля равна нулю ?

Если с исходным полем коммутирует несколько векторных полей, то и тензоры, из них составленные, тоже должны коммутировать. Правда, что такое "коммутировать" в этом случае, я не очень представляю, надо у Oleg Zubelevich спросить.

vornczo в сообщении #613604 писал(а):

И есть ли вообще алгоритмы как искать инварианты системы дифференциальных уравнений: поля симметрий и т.д. или критерии их существования.

О, это всё к нему. Для меня это всё не алгоритмы, а искусство и удача.

[vornczo]

Спасибо Munin за ответ, интересно что ответит Oleg Zubelevich.

[Oleg Zubelevich]

В двух словах если есть динамическая система $\dot x=v(x),\quad x\in\mathbb{R}^m$ то $T$ -- инвариантное тензорное поле если $L_vT=0$ -- производная Ли равна нулю. Если инвариантных тензорных полей несколько, то тензорные операции над ними (свертки тензорные произведения, производные Ли, дифференциалы итп) снова дают инвариантное тензорное поле. Еще сюда добавляются всякие изоморфизмы с пространствами псевдотензоров. Например если есть две инвариантных формы $\psi=g_{1,\ldots,m}(x)dx^1\wedge\ldots dx^m$ и $\omega=f_{1,\ldots,m}(x)dx^1\wedge\ldots dx^m,\quad L_v\psi=L_v\omega=0$ то поскольку отношение $f_{1,\ldots,m}/g_{1,\ldots,m}$ является функцией, оно будет и первым интегралом системы. (теорема Лиувилля)
Другой пример $v=(v^1,v^2)$ и пусть это векторное поле имеет инвариантную 2-форму $\omega=\rho dx^1\wedge dx^2$ . Получаем инвариантную дифференциальную форму $\xi=\rho(v^1dx^2-v^2dx^1)=i_v\omega$. По формуле гомотопии, эта форма замкнута, значит $\int\xi$ -- первый интеграл системы (теорема Эйлера)
Если сюда подключить теорему Маурера-Картана то начнут получаться утверждения типа теоремы Ли об интегрируемости системы имеющей разрешимую алгебру векторных полей. Соответствующее обобщение этой теоремы приводил scwec, ищите по форуму. Короче все это приложения тензорного анализа

[vornczo]

Спасибо Oleg Zubelevich за ответ. А вы можете еще посоветовать пожалуйста литературу по тому что вы написали и желательно чтобы книга была по современнее и была снабжена хорошими примерами. До этого читал книги на вроде Дубровин, Новиков, Фоменко Современная геометрия но теорем типа Маурера-Картана не нашел.