Уравнение с целыми частями.

[Dionis_The_Great]

Помогите, пожалуйста, решить следующее уравнение $[x^2]+[x]=2007$, где $[x]$ обозначает целую часть числа, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

[student]

Dionis_The_Great писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить следующее уравнение [x^2]+[x]=2007, где [x] обозначает целую часть числа, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.

Допустим $x\in R^{+}$ тогда если $x\leq 44$ то [x^2]+[x]\leq 1980<2007$ а если $x\geq 45$ то [x^2]+[x]\geq 2070>2007$
Значит $x\in (44,45)$ и $[x]=44$ а $x=\sqrt{1963+a}$, где
$a\in [0,1)$.
Для отрицательных помоему аналогично рассматривается.

[Dionis_The_Great]

Для положительных согласен. Но! Вы пользовались монотонностью функции, а точнее тем, что она не убывает на $\mathbb{R}_{+}$. На этом луче это трививиальное утверждение. Действительно, $f(x)=[x^2]+[x]$ есть сумма двух неубывающих функций: $g(x)=[x^2]$ и $h(x)=[x]$ (т.к. для положительных чисел целая часть большего из них не меньше целой части другого). Имеем неубывающую функцию и константу, а значит они пересекаются в единственном интервале (как раз по тому, который вы указали).
Но если теперь переходить к отрицательным числам, то нужно доказывать неубывание или невозрастание функции $f(x)$ на $(-\infty,0)$, а это уже совсем не тривиальный факт, потому как имеем сумма невозрастающей и неубывающей функций. Все мои размышления сводятся к доказательству именно утверждения о невозрастании функции на этом луче. А решение найти, разумеется, не составит особого труда.

[незваный гость]

Не совсем. Нам достаточного монотонного невозрастания на каждом из участков $[x] \leq x < [x]+1$ и монотонного убывания в целых точках.

[neo66]

Поскольку уравнение не имеет целых корней, можно считать, что $x$ нецелое. Пусть $x<0$, тогда, поскольку $[x]+[-x]=-1$ для нецелых $x$, имеем $[y^2]=2008+[y]$, где $y=-x>0$. Легко проверить, что $45<y<46$. Значит $[y]=45$ и $y=\sqrt{2053+\alpha}$, где $\alpha \in [0,1)$.

[student]

Ну вот еще одно решение при$x<0$:
Если $x<-47$ тогда $[x^2]+[x]+1\geq [x+1]^2+[x+1]=[x+1]([x+1]+1)>46\cdot 45=2070.$
Если $-47\leq x\leq -46$ то $[x]>-47, [x^2]>2116, [x^2]+[x]>2069>2007$
Если $-45\leq x\leq 44$ то $[x]<-44, [x^2]<2025, [x^2]+[x]<2007$
а при $-44\leq x\leq 0$ отсуствие решений очевиден.
значит $-46<x<-45,\ [x]=-46$ Отсюда следует $x=-\sqrt{2053+a}$ где $a\in [0,1)$

[Dionis_The_Great]

Всем спасибо! Думаю, общий план решения уже ясен...
P.S. student, а почему $[x^2]\geqslant[x+1]^2\text{ для }x<0$?

[student]

Dionis_The_Great писал(а):

P.S. student, а почему $[x^2]\geqslant[x+1]^2\text{ для }x<0$?

Для целых $x<0$ это очевидно.
А для не целых $x$ тоже очевидно!
Но, тем не менее, любого не целого отрицательного $x$ можно представит в виде $x=-n-\alpha$ где $x\in (0,1)$ значит $[x+1]=-n, [x^2]\geq n^2=[x+1]^2$

[RIP]

В принципе решать можно и без использования монотонности. Надо просто воспользоваться неравенствами $\lfloor\alpha\rfloor\leqslant\alpha\leqslant\lfloor\alpha\rfloor+1$. Если $x$ удовлетворяет уравнению, то тогда $2007\leqslant x^2+x<2009$. Решая квадратные неравенства, получаем оценки на $x$ и соответственно возможные значения $\lfloor x\rfloor$

[Wolond]

Всем привет! а вот такое помогите решить: [X^2 - 1] + [X] = [X^3] +[2X]
если можно, то с описанием способа решения. очень надо научится решать такие уравнения, но немогу нигде литерартуру найти. заранее Огромное спасибо!