Туннельные переходы

[dovlato]

Кстати..а прямолинейный туннель (это бесспорное решение) - может быть представлен как гипоциклоида?

[obar]

Только, если он проходит через центр. Гипоциклоида на поверхности касательна к радиусу.

[dovlato]

Но ведь любой прямой туннель - решение. Совсем не обязательно проходящий через центр.
Может, эти гипоциклоиды не исчерпывают всех решений.. Тоже не понятно: ведь для каждой пары $r_0, T$ решение, лежащее в плоскости, проходящей через центр - вроде бы единственное..

[obar]

Гипоциклоида -- решение с минимальным периодом, а прямой тоннель -- с максимальным.

[dovlato]

Величина периода не имеет верхней границы - он может быть как угодно большим. Например, туннель может иметь форму цилиндрической спирали радиуса $r_0$, с постоянным шагом. По мере уменьшения этого шага, число витков спирали может расти до как угодно больших величин, а вместе с ним и период.

[obar]

Я исходил из того, что максимальный период должен возрастать (не уменьшаться) с уменьшением $r_0$ (т.к. уменьшается $g$ вблизи $r_0$, а период не зависит от амплитуды). Но при $r_0=0$ единственное решение -- прямой тоннель.

[dovlato]

Так я же толкую не о $r_0$ - пусть он зафиксирован. После чего начинаю увеличивать $T$. Хоть до бесконечности. Конечно, длина туннеля растёт. Представьте себе "соленоид" - это один возможный вариант (коих бесконечно много). А можно, например, всё время оставаться в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec r_0$. Это уже будет разматывающаяся плоская спираль. Её наибольший шаг будет в начале, а затем этот шаг уменьшается, стремясь к некоторому постоянному значению, зависящему от периода.
Вообще, имея некоторый опыт составления школьных задач по физике, я, кажется, ещё не встречал задачи, настолько богатой вариантами.

[obar]

С максимальным периодом похоже я ошибся, ограничений сверху не видно. Подвели рассуждения о непрерывной зависимости $T_{max}(r_0)$. Значение $r_0=0$ -- особое.

[MajorUrsus]

obar в сообщении #612994 писал(а):

Гипоциклоида -- решение с минимальным периодом, а прямой тоннель -- с максимальным.

Кажется, максимального периода не существует. Гипоциклоида может выгнуться и в обратную сторону (если отношение радиусов меньше 2) так что радиус кривизны при $r=r_0$ будет приближаться к $r_0$, период при этом неограниченно возрастает.
По определению, гипоциклоида — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения. В нашем случае "другая окружность" может быть любого радиуса $R_c\ge R$. При $R_c\rightarrow +\infty$ дуга гипоциклоиды внутри планеты "выпрямляется". Так, думается, решается вопрос с прямолинейными туннелями.

[obar]

MajorUrsus в сообщении #613074 писал(а):

Гипоциклоида может выгнуться и в обратную сторону (если отношение радиусов меньше 2)

Гипоциклоида с $\alpha\equiv r/R>1/2$ совпадает с гипоциклоидой с $\alpha'=1-\alpha<1/2$. Поэтому, всегда можно считать, что $r\leq R/2$.

MajorUrsus в сообщении #613074 писал(а):

"другая окружность" может быть любого радиуса $R_c\ge R$. При $R_c\rightarrow +\infty$ дуга гипоциклоиды внутри планеты "выпрямляется".

При $R_c>R$ не будет выполняться условие $s^2=a(r^2-r_0^2)$.

[MajorUrsus]

obar в сообщении #613196 писал(а):

Гипоциклоида с $\alpha\equiv r/R>1/2$ совпадает с гипоциклоидой с $\alpha'=1-\alpha<1/2$. Поэтому, всегда можно считать, что $r\leq R/2$.

Ваша правда - я ошибся. Но с тем, что прямолинейный туннель имеет максимальный период пока не примирился. Мне кажется, что существует кривая выгнутая в обратную сторону для которой период больше.

obar в сообщении #613196 писал(а):

При $R_c>R$ не будет выполняться условие $s^2=a(r^2-r_0^2)$.

Несогласен. Соотношение $s^2=a(r^2-r_0^2)$ выполняется для любой гипоциклоиды при $r\le R_c$