Плюригармонические функции на римановой поверхности

[Nimza]

Как показать, что сужение плюригармонической функции на риманову поверхность гармонично?

[Oleg Zubelevich]

Шабат Введение в Комплексный анализ том 2

[Nimza]

Спасибо, посмотрел содержание и указатель. Разве там римановы поверхности вообще встречаются?

[Padawan]

Можно воспользоваться тем, что плюригармонические функции -- это в точности действительные части аналитических функций.

[Oleg Zubelevich]

По-моему это должно выглядеть так, хотя могу ошибаться. Пусть функция $f(z),\quad z=(z_1,\ldots, z_m)$ -- голоморфна в области $D$. Риманова поверхность $f$ это ее график в $\mathbb{C}^{m+1}$ т.е. $\{z'=(z_1,\ldots,z_{m+1})\mid z_{m+1}=f(z)\}$

Пусть $u(z')=(g(z')+\overline g(z'))/2$ -- плюригармоническая. Сужаем: $\frac{\partial^2}{\partial z\partial \overline z}u(z,f(z))=0$ -- надо посмотреть что из этого получится

Хотя странная задача, чтоб говорить о гармоничности функции на поверхности нужна метрика

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #612459 писал(а):

Хотя странная задача, чтоб говорить о гармоничности функции на поверхности нужна метрика

Нет. Нужна конформная структура. Так как гармонические функции инварианты относительно конформных отбражений.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #612462 писал(а):

Нет. Нужна конформная структура. Так как гармонические функции инварианты относительно конформных отбражений.

а как определить конформное отображение без метрики?

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Конформную структуру можно определить как класс эквивалентных метрик, $ds$ эквивалентна $d\sigma$, если $ds=\lambda d\sigma$, где $\lambda$ -- некоторая скалярная функция на поверхности. Отображение конформно, если оно конформно в одной из этих метрик (тогда и в любой другой).

А вообще, конформные отображения уже заложены в самом определении римановой поверхности в виде допустимых преобразований координат.

-- Чт авг 30, 2012 12:28:15 --

Ограничение аналитической функции на РП -- аналитическая функция на РП, значит ограничение действительной части аналитической функции на РП -- действительная часть ограничения аналитической функции на РП, т.е. функция гармоническая.

То, что взятие действительной части и ограничение на поверхность коммутируют, вроде бы очевидно.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #612465 писал(а):

Конформную структуру можно определить как класс эквивалентных метрик, $ds$ эквивалентна $d\sigma$, если $ds=\lambda d\sigma$, где $\lambda$ -- некоторая скалярная функция на поверхности. Отображение конформно, если оно конформно в одной из этих метрик (тогда и в любой другой).

это и называется: нужна метрика

Padawan в сообщении #612465 писал(а):

вообще, конформные отображения уже заложены в самом определении римановой поверхности в виде допустимых преобразований координат

не встресал понятие "допустимое преобразование координат" в определении римановой поверхности, что это такое и где написано?

[Padawan]

Ну многообразие когда определяется, там требуется, чтобы замена координат при переходе от одной локальной карты к другой было отображением определенного класса ($n$-гладким, бесконечно гладким, аналитическим, мёбиусовым и т.д.). Для римановых поверхностей -- это класс конформных отображений, сохраняющих ориентацию.

[Oleg Zubelevich]

ну это для любого комплексного многообразия так, функции склейки дожны быть голоморфны, ну понятно вообщем, кто что имел в виду

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #612459 писал(а):

Пусть $u(z')=(g(z')+\overline g(z'))/2$ -- плюригармоническая. Сужаем: $\frac{\partial^2}{\partial z\partial \overline z}u(z,f(z))=0$ -- надо посмотреть что из этого получится

пардон, должно быть:
$u=u(z',\overline z'),\quad \frac{\partial^2}{\partial z\partial \overline z}u(z',\overline z')\Big|_{z_{m+1}=f(z),\quad \overline z_{m+1}=\overline f(z)}=0$
при этом всякая плюригармоническая функция является гармонической. Тьфу! тривиальная совсем задача, даже вычислять нечего

[Nimza]

И правда просто всё получается... Спасибо. Не привык к тематике ещё.