Имеется уравнение диффузии, описывающее распространение реагента к поверхности (

):

,
и уравнение, описывающее хим. реакцию на этой поверхности:

.
Начальное распределение концентрации реагента и правое граничное значение концентрации заданы:

.
У меня возникла проблема с решение разностной схемы для этой задачи.
Пробую решить задачу следующим образом. Записываю разностную схему для уравнения диффузии, основанную на двухслойной схеме Кранка-Николсона:
![$\frac{U_j^{n+1}-U_j^{n}}{\Delta{}t}=D\left[\frac{U_{j+1}^{n+1}-2U_j^{n+1}+U_{j-1}^{n+1}}{2(\Delta{x})^2}+\frac{U_{j+1}^{n}-2U_j^{n}+U_{j-1}^{n}}{2(\Delta{x})^2}\right]$ $\frac{U_j^{n+1}-U_j^{n}}{\Delta{}t}=D\left[\frac{U_{j+1}^{n+1}-2U_j^{n+1}+U_{j-1}^{n+1}}{2(\Delta{x})^2}+\frac{U_{j+1}^{n}-2U_j^{n}+U_{j-1}^{n}}{2(\Delta{x})^2}\right]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/a/5eae2b0d3a8201c7148e4d5044d2742682.png)
.
Схема для реакции на границу записываю в виде:
![$D\left[\frac{U_{2}^{n+1}-2U_1^{n+1}+U_{0}^{n+1}}{2(\Delta{x})^2}\right]=f(t_n,U_0^{n})$ $D\left[\frac{U_{2}^{n+1}-2U_1^{n+1}+U_{0}^{n+1}}{2(\Delta{x})^2}\right]=f(t_n,U_0^{n})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/d/96dc3d753d878ef9473458108e097c1f82.png)
.
Здесь нижние индексы

отвечают пространственной координате сетки (

), верхние индексы

- временным узлам сетки
(

).
Двухслойную схему можно записать в виде:

,
где

- коэффициенты, выражающиеся через параметры сетки. Хочу решить это уравнение методом прогонки.
Для этого записываю соотношение

. В результате подстановки соотношения получаем рекуррентные соотношения для прогоночных коэффициентов:

.
Таким образом, для нахождения решения на каждом временном слое находятся прогоночные коэффициенты

. Они находятся из левого граничного условия (моя проблема именно в этом. см. ниже). Остальные коэффициенты рассчитываются по рекуррентным соотношениям. Решение в слое строиться от правой границы:

.
Таким образом, для решения задачи необходимо знать граничные условия с обоих сторон, т.е. на поверхности, где происходит реакция, и на "правой" поверхности. С этим у меня возникли проблемы. С одной стороны, для "околореакционного" слоя , для которых записана разностная схема (

), можно записать:

.
Коэффициенты

вообще говоря не совпадают с

. Я пробовал найти начальный прогоночные коэффициенты из сравнения уравнения

с уравнением с

. Найти не удалось.
Подскажите, пожалуйста, как это лучше сделать? Правильно ли я решаю задачу? Если да, то как найти

?