Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией

[E90]

Привет всем!
Такой вопрос: есть одномерная тепловая задача, решаемая по неявной конечно-разностной схеме.
$\frac{dU} {dt} = a^2 \frac{d^2 U} {dx^2} + L \rho \frac{dm} {dt}$
С левого конца действует постоянное граничное условие первого рода (20 градусов Цельсия), а с правого - тоже граничное условие первого рода, но попеременно то 20 градусов, то 2500. Температура солидуса 1420, ликвидуса 1500. Количество жидкой фазы в интервале плавления/кристаллизации определяется как
$m = \frac{T-T_s} {T_l - T_s}$
Надо с учетом теплоты плавления и кристаллизации определять, какая доля твердой жидкой фазы в данный момент времени находится в каждой точке. Сложность в том, что, например, если выделяется некоторое количество твердой фазы - то выделяется теплота кристаллизации, температуры повышаются, и на следующем шаге во время расчета m получаются неверные значения. Как сделать, чтобы количество фаз на каждом шаге считалось корректно?

[мат-ламер]

Эта задача с движущейся границей - задача Стефана. Во-первых, гуглите. Во-вторых, что-то есть уже у Тихонова-Самарского. $U$ должно линейно зависеть не от температуры, а от энтальпии (т.е. с учётом энергии фазового перехода). Это - энтальпийный подход к решению задачи. Можно также явно отслеживать границу фазового перехода, и для неё задавать дополнительно граничное условие. Т.о. задача распадётся на две (или три) простых задач теплопроводности. Но это сложней.

[ИСН]

мат-ламер в сообщении #607992 писал(а):

$U$ должно линейно зависеть не от температуры, а от энтальпии

Только проблема в том, что диффундирует-то температура, и вторая производная там - от неё. Твёрдая и жидкая фазы при температуре плавления будут лежать рядом спокойно: перепад энтальпии будто бы есть, но она не течёт.

[E90]

U - это температура. На простые задачи теплопроводности врядли удастся разложить - плавление и кристаллизация протекают в интервале температур. И теплоту плавления/кристаллизации надо учитывать не через теплоемкость - такое условие.

[мат-ламер]

E90 в сообщении #608175 писал(а):

И теплоту плавления/кристаллизации надо учитывать не через теплоемкость - такое условие.

Тогда я боюсь Вас запутать. Я кое-что программировал на эту тему, но это было давно и подробностей не помню. Но физический смысл моих расчётов состоял именно в увеличении теплоёмкости в момент фазового перехода. Линейная задача с движущейся границей сводилась к нелинейному параболическому уравнению, в котором наличие фазового перехода уже не волновало.

-- Пн авг 20, 2012 20:45:42 --

Вроде была книга Мейерманова на эту тему, но у меня поисковик её не нашёл.

[E90]

Я нашел книгу Анварбек Мукатович Мейрманов Задача Стефана, правда не нашел, где её скачать.
Я пытался до этого решать эту задачу таким способом:
1) Смотрим, не попала ли какая-нибудь точка в интервал кристаллизации;
2) Если попала - считаем количество жидкой и твердой фазы в ней;
3) Рассчитываем на основе этого выделившуюся/поглотившуюся теплоту по отношению к предыдущему шагу;
4) Изменяем температуру в данной точке на величину, соответствующую теплоте;
5) Проводим расчет температур для следующего шага по времени (прогонку);
Там появлялось две основные сложности:
1) В процессе, например, плавления при поглощении теплоты плавления температура в точке снижалась, и поэтому на следующем шаге по времени как бы получалось, что количество жидкости снижается, однако это не так. Это решали тем, что во время нагрева не давали количеству жидкости в точке уменьшаться. Однако появлялась другая сложность:
2) Невозможно было точно определить момент, когда материал плавится, а когда кристаллизуется, и когда давать количеству жидкости уменьшаться, а когда нет, поскольку даже во время начала нагрева в некоторых точках продолжается кристаллизация и наоборот.

[ИСН]

Я бы сказал, что долю жидкой фазы надо считать не для той температуры, с которой мы подошли к шагу 2, а для той, которая будет в итоге. Две неизвестных величины в точке: доля и температура. Можно записать уравнения, которыми они связаны? можно их решить?

[E90]

ИСН в сообщении #608387 писал(а):

Я бы сказал, что долю жидкой фазы надо считать не для той температуры, с которой мы подошли к шагу 2, а для той, которая будет в итоге. Две неизвестных величины в точке: доля и температура. Можно записать уравнения, которыми они связаны? можно их решить?

Да, я тоже об этом и думал, но, просто, не знаю, как их записать.

[E90]

В частности, мне не понятно, как вставить ещё одну неизвестную в метод прогонки, чтобы его решить. Оно будет решаться также, как и обычное, или как-то по другому? И как должно выглядеть уравнение, связывающее температуру и фазу, чтобы его можно было использовать в расчёте?

[V.V.]

E90, есть книга Самарский, Вабищевич "Вычислительная теплопередача" (http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=3120349), в которой целая глава посвящена задаче Стефана.