Просто, но симпатично

[arqady]

1)Пусть $r$ является действительным корнем уравнения $x^2+px+q=0$. Докажите, что

$$r<\sqrt{1+p^2+q^2}$$

2)Пусть у уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ есть три действительных корня и $r$ один из них. Докажите, что

$$r<\sqrt{1+a^2+b^2+c^2}$$

Ну и так далее...

[ewert]

$x^2=-px-q\leqslant\frac12(x^2+p^2)+|q|,\ \ \ x^2\leqslant p^2+2|q|\leqslant p^2+1^2+q^2.$

Верно, разумеется, и в комплексном случае, если всё по модулю. Только непонятно, зачем.

[ewert]

это был некоторый глюк, прошу прощения

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #610617 писал(а):

1)Пусть $r$ является действительным корнем уравнения $x^2+px+q=0$. Докажите, что

$$r<\sqrt{1+p^2+q^2}$$

2)Пусть у уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ есть три действительных корня и $r$ один из них. Докажите, что

$$r<\sqrt{1+a^2+b^2+c^2}$$

Ну и так далее...

$r \le 1 $ - очевидно.

если $r \ge 1$ : $\sqrt{r^6-1} \le r^3 \le \sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{r^4+r^2+1}$

[TR63]

arqady в сообщении #610617 писал(а):

1)Пусть $r$ является действительным корнем уравнения $x^2+px+q=0$. Докажите, что

$$r<\sqrt{1+p^2+q^2}$$

2)Пусть у уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ есть три действительных корня и $r$ один из них. Докажите, что

$$r<\sqrt{1+a^2+b^2+c^2}$$

Ну и так далее...

"Для устойчивого многочлена формула для модулей отрицательных корней верна", т.к.
$\sqrt{1+a^2+b^2+c^2}>1+A$, но по теореме о модуле действительных корней должно быть $r<1+A$, $A=\max(a,b,c)$.
Для неустойчивых применяем двойное отрицание(условие применимости выполнено)? к установленному правдивому факту.

[TR63]

Сказанное верно, если $A=c$. Если идея верна, то можно рассмотреть и оставшийся случай.