Туннельные переходы

[dovlato]

В Планете радиуса $R$ прорыт сквозной туннель, наиболее глубокая точка которого находится на расстоянии $r_0$ от её центра.
В туннеле без трения может двигаться вагон. Известно, что период свободных колебаний вагона в туннеле не зависит от размаха их колебаний,
вплоть до выхода вагона на поверхность. Плотность Планеты постоянна. Ускорение свободного падения на её поверхности равно $g$.
1. Найти $T_0$ - минимально возможный период колебаний вагона.
2. Определить длину туннеля, если период $T>T_0$.
Замечание: единственное ограничение на форму туннеля - чисто физическое: гладкий, безо всяких углов.

[MajorUrsus]

Туннель прямолинейный или может быть кривым?

Вроде бы для прямолинейного туннеля период колебаний не зависит ни от чего: ни от размаха колебаний, ни от $r_0$ и равен периоду обращения спутника вокруг планеты на нулевой высоте от ее поверхности.

[dovlato]

Цитата:

Туннель прямолинейный или может быть кривым?

Туннель рассматривается как линия практически без толщины - это, думаю, понятно.
А относительно её формы повторю: никаких запретов. Кроме чисто математических глюков: нет ни самопересечений, ни изломов, всё гладко, вагон о стенки не бьётся и не отскакивает. То-есть выбирайте форму, какая вам почему-либо понравится.. Единственное жёсткое условие: при любом размахе колебаний относительно наинизшей точки канала, их период $T$ остаётся постоянным.

[MajorUrsus]

Если прорыть туннель около поверхности планеты в виде дуги циклоиды (вершиной вниз) высоты h (много меньше R), то период колебаний будет
$T=2\pi \sqrt{\frac {h}{g}}$ и может быть сделан сколь угодно малым.
Дугу циклоиды взял потому, что период колебаний не зависит от размаха.

[dovlato]

Я не математик (хоть и преподаю)), но сильно сомневаюсь, что при сравнительно больших размерах кривой - она останется циклоидой. Гравитац. поле ведь не однородное, центральное.
Я выяснил, что множество кривых - бесконечно для любого $T$. Ан таки длины их - одинаковы.

[MajorUrsus]

dovlato в сообщении #610384 писал(а):

1. Найти $T_0$ - минимально возможный период колебаний вагона.
2. Определить длину туннеля, если период $T>T_0$.

Задача интересная, но я не очень понял условие.
Минимально возможный период равен нулю - вот ответ на первый вопрос. Форма туннеля описана в предыдущем сообщении - хотя согласен, что она немного отличается от циклоиды, но чем меньше период - тем форма кривой ближе к дуге перевернутой циклоиды.
Надо ли понимать второй вопрос так: по туннелю колеблется вагон с периодом T. Найти длину туннеля?

[dovlato]

Да, именно так. Только, пожалуйста,не забывайте, что $r_0$ - наименьшее расстояние от некой точки туннеля до центра - задано. И оно может быть любым. То-есть $T_\min$ - функция $r_0$.

[longstreet]

(Оффтоп)

Я эту задачу, кажется, в Кванте видел.

[dovlato]

В "Кванте" - вполне может быть.. где-то его уровень. У меня-то эта задача возникла как аллюзия задачи himfizik`a.

[MajorUrsus]

Теперь понял.
Закон сохранения энергии + условие независимости периода от размаха +требование что туннель выходит на поверхность дают:

длина туннеля:
$l=\frac{T}{\pi}\sqrt{\frac{g}{R}(R^2-r_0^2)}$,

минимальный период:
$T_{\min}=2\pi\sqrt{\frac{R^2-r_0^2}{gR}}$,

минимальная длина туннеля:
$l_{\min}=2\frac{R^2-r_0^2}{R}$.

Красиво. Результат получен, но почти никаких соображений о форме туннеля.

[dovlato]

Вы уловили именно физическую суть. Тут поначалу математики немного.
Однако необходимо добавить кое-какие комменты для интересующихся.
1. Физическое соображение: из постоянства периода следует, что при произвольном удалении $s$ от наинизшей точки туннеля изменение потенциальной энергии тела пропорционально квадрату удаления:

$$\Delta U=k\frac{ s^2}{2}$$

2. Потенц. эн. тела относительно центра планеты

$$U(R)=\frac{mg}{R_0}\frac{R^2}{2}$$

Отсюда

$$\Delta U=\frac{mg}{R_0}\frac{R^2-r_0^2}{2}$$

Приравниваем выражения для изменения пот. энергии

$$ks^2=\frac{mg}{R_0}(R^2-r_0^2)$$

Следовательно, можно записать $s^2=a(R^2-r_0^2), \quad a=\operatorname{const}$

$$ak=\frac{mg}{R_0}, \squad \omega^2=k/m=\frac{g}{aR_0},$$

$$\omega^2=\frac{\omega_0^2}a,$$

где $ \omega_0^2=\frac{g}{R_0}$ - квадрат частоты для любого прямолинейного туннеля. Однако он вовсе не обязан быть прямолинейным!
Равенство $s^2=a(R^2-r_0^2)$ - единственное обязательное и достаточное условие для обеспечения постоянства периода колебаний. Из него получаем длину туннеля

$$L=2s=\frac{2T}{T_0}\sqrt{R^2-r_0^2}$$

Хочу подчеркнуть, что единственное условие $s^2=a(R^2-r_0^2)$ допускает траектории самых фантастических форм. С изломами, хотя и без самопересечений.. Например, внешне они могут напоминать след броуновской частицы.
Что же касается минимальных величин периода $T$ и длины туннеля $L$, мне думается, из последнего выражения их получить невозможно. Поначалу мне казалось, что минимум $s$ есть $R_0-r_0$. Но это не так! Потому что в вертикальном колодце $T$ - не константа. Я попробовал найти уравнение плоской траектории (то-есть хотя бы плоской!). Составил ДУ. И вот в ходе его решения пошли довольно тягостные интегралы, хотя и берущиеся. Но я уж не смог себя заставить их домучивать. Хотя, в принципе, именно после интегрирования и можно было бы сказать что-то обоснованное относительно достижимых минимумов.

[dovlato]

Кстати, что касается длины туннеля, то задача его определения легко обобщается на произвольный закон изменения плотности $\rho=\rho(R)$.
Тогда $U(R)=m\varphi(R)$, $\Delta U=m\left(\varphi(R)-\varphi(r_0)\right)$. И далее аналогично.

[MajorUrsus]

Для планеты с однородной плотностью можно получить минимальный период и длину в зависимости от $r_0$.
Имеем
$s^2=\frac{gT^2}{4\pi ^2R}(r^2-r_0^2)$.
При изменении $r$ на $dr$ $s$ изменяется на $ds$, причем $ds\ge dr$.
Поэтому получаем условие
$\frac{rs}{r^2-r_0^2}\ge 1$, которое должно выполняться для любых $r$ от $r_0$ до $R$,
Откуда
$s\ge R(1-(\frac{r_0}{R})^2)$, следовательно
$L_{\min}=2R(1-(\frac{r_0}{R})^2)$,
$T_{\min}=2\pi \sqrt{\frac{R^2-r_0^2}{gR}}$.
Форму кривой туннеля подобрал методом тыка, не решая диффуров. Так как для однородного поля тяжести кривая суть циклоида, то для планеты предположил, что кривая - гипоциклоида. Несложная проверка показала, что именно для гипоциклоиды выполняется соотношение
$s^2=a(r^2-r_0^2)$.
Таким образом для планеты с постоянной плотностью общее решение таково:
проводим плоскость через центр планеты, на плоскости рисуем гипоциклоиду, затем плоскость сворачиваем в конус с вершиной в центре планеты, конус не обязательно круговой, а с произвольной образующей, можно даже складывать плоскость как лист бумаги, лишь бы линия складывания проходила через центр планеты.

[dovlato]

Цитата:

Несложная проверка показала, что именно для гипоциклоиды выполняется соотношение
$s^2=a(r^2-r_0^2)$.

Ну что тут скажешь.. против таланта не попрёшь))). Надо ж было догадаться до гипоциклоиды. О которой я, кстати, ничего не знаю: там что - точка на колесе, катящемся внутри по сфере или как?
Завершение с конусом очень изящно смотрится. Между прочим, этот конус вполне может и самопересекаться, то есть представлять собой множество конусов с одной вершиной, и каждый из них соприкасается по образующим хотя бы с одним из остальных. Это правило, очевидно, остаётся верным и вообще для всех решений данной задачи.

[MajorUrsus]

dovlato в сообщении #612701 писал(а):

...там что - точка на колесе, катящемся внутри по сфере или как?

Точка обода колеса катящегося по большой окружности сферы радиуса $\ge R$.