непрерывные функции

[Oleg Zubelevich]

Пусть множество $K\subset C(0,1)$ -- замкнуто, равностепенно непрерывно и $\sup\{u(x)\mid u\in K\}<\infty$ для любого $x\in(0,1)$ . Предположим, что если $u,v\in K$ то и $u\vee v=\max\{u,v\}\in K.$
Доказать, что в $K$ найдется функция $f$ такая, что для любого $x\in (0,1)$ и любой $u\in K$ будет $f(x)\ge u(x)$.

В $C(0,1)$ введена стандартная топология компактной сходимости.

[MajorUrsus]

Обозначим $f(x)=\sup\{u(x)\mid\ u\in K\}$. Докажем, что эта функция - искомая.
1) $f(x)$ - равномерно непрерывна на $(0,1)$.
Действительно, выберем любое $\varepsilon>0$. Так как K равностепено непрерывно, то существует $\delta>0: \all x_1,x_2\in(0,1) \mid x_2-x_1\mid<\delta, \all u\in K \mid u(x_2)-u(x_1)\mid<\frac{\varepsilon}2$.
Возьмем любые $x_1,x_2\in(0,1): \mid x_2-x_1\mid<\delta$. Пусть для определенности $f(x_2)\ge f(x_1)$. Так как $f(x)=\sup\{u(x)\mid\ u\in K\}$, то существует $u_2: f(x_2)-u_2(x_2)<\frac{\varepsilon}2$. Очевидно также, что $f(x_1)\ge u_2(x_1)$.
Тогда $f(x_2)-f(x_1)=(f(x_2)-u_2(x_2))+(u_2(x_2)-f(x_1))\le (f(x_2)-u_2(x_2))+(u_2(x_2)-u_2(x_1))<\frac{\varepsilon}2 +\frac{\varepsilon}2 =\varepsilon$.
2) $f \in K$.
Выберем любое $\varepsilon>0$. Так как K равностепено непрерывно и $f(x)$ - равномерно непрерывна, то существует $\delta>0: \all x_1,x_2\in(0,1) \mid x_2-x_1\mid<\delta, \all u\in K \mid u(x_2)-u(x_1)\mid<\frac{\varepsilon}3$ и $\mid f(x_2)-f(x_1)\mid <\frac{\varepsilon }3$.
Выберем множество точек $0<x_1<x_2<...<x_n<1: (x_{i+1}-x_i)<\delta$. Для $\all i: 1\le i\le n \exist u_i: f(x_i)-u_i(x_i)<\frac{\varepsilon }3$.
Построим функцию $U=u_1\vee v_2\vee ...\vee v_n\in K$. Возьмем произвольное $x\in(0,1)$, а через $x_m$ обозначим ближайшее к $x$ [math]$x_i$. Тогда $\mid x-x_m\mid<\delta$ и, следовательно:
$f(x)-U(x)\le \mid f(x)-f(x_m)\mid + \mid f(x_m)-u_m(x_m)\mid +\mid u_m(x_m)-U(x)\mid<\varepsilon $.
Таким образом получаем, что в любой окрестности f(x) имеется функция из K, следовательно f(x) принадлежит замыканию K, а так как K замкнуто, то $f(x)\in K$, чтд.

[Oleg Zubelevich]

MajorUrsus в сообщении #610155 писал(а):

Так как K равностепено непрерывно, то существует $\delta>0: \all x_1,x_2\in(0,1) \mid x_2-x_1\mid<\delta, \all u\in K \mid u(x_2)-u(x_1)\mid<\frac{\varepsilon}2$

это неверно, не путайте равностепенную непрерывность с равномерной равностепенной непрерывностью

[MajorUrsus]

Приношу извинения, не очень то владею вопросом, но интересно.

Определение равностепенной непрерывности взял из http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C.
Буду благодарен за разъяснение или ссылку на определение равностепенной непрерывности как понимаете ее Вы.

[Oleg Zubelevich]

MajorUrsus в сообщении #610209 писал(а):

Определение равностепенной непрерывности взял из http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0% ... 1%82%D1%8C.

заметили, что там речь идет о компактных пространствах?

В обсуждаемом случае равностепенная непрерывность множества $K$ означает, что для любого $a\in (0,1)$ и любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что $\sup\{|f(x)-f(a)|: |x-a|<\delta,\quad f\in K\}<\varepsilon$

[Oleg Zubelevich]

Что бы не отвлекаться на частности , будем считать, что в условии вместо интервала $(0,1)$ стоит произвольное метрическое пространство. Задача для устного счета.

[MajorUrsus]

Если взять интервал $(0,\infty)$, а множество K составить из функций
$u_m(x)=0$ при $0\le x\le m$,
$u_m(x)=x-m$ при $m\le x\le (m+1)$,
$u_m(x)=m+2-x$ при $(m+1)\le x\le (m+2)$,
$u_m(x)=0$ при $(m+2)\le x$,
$m=0,1,2...$
и функций составленных из всевозможных конечных операций $\vee$ над функциями $u_m(x), то условия задачи будут выполнены, но искомой функции-мажоранты в K нет.

[Oleg Zubelevich]

MajorUrsus в сообщении #610415 писал(а):

условия задачи будут выполнены

не будут

-- Сб авг 25, 2012 18:56:15 --

странно, что специалисты до сих пор молчат

[MajorUrsus]

Oleg Zubelevich в сообщении #610465 писал(а):

не будут

Задача меня заинтересовала, приношу извинения за назойливость: какие именно условия не будут выполнены? Дайте, пожалуйста, информацию для размышления.

[Oleg Zubelevich]

Ваше множество не замкнуто

[Oleg Zubelevich]

И так вместо $(0,1)$ возьмем произвольное метрическое пространство $X$.

Введем в $K$ частичный порядок $u\ll v$ по правилу $u(x)\le v(x)$ для любого $x\in X$.

Рассмотрим какую-нибудь цепь $C=\{u_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subseteq K$. Эта цепь еще является и направленностью, как направленность она сходится поточечно. Это следует из условия задачи. В равностепенно непрерывном множестве поточечная сходимость влечет сходимость в топологии компактной сходимости. Поэтому предел направленности $\{u_\lambda\}$, обозначим его $u'$ является непрерывной функцией и , в силу замкнутости $K$, лежит в $K$. Очевидно, $u'$ является верхней гранью $C$.

По лемме Цорна множество $K$ имеет максимальный элемент, обозначим его $f$. Поскольку $f\ll f\vee u$ для любого $u\in K$ имеем $f=f\vee u$ ЧТД