Не полная система

[max(Im)]

Ортогональная система $\{\sin(2k+1)x\}_{k=0}^{\infty}$ не полна в пространстве $C[0,\pi/2].$ Подскажите, какую функцию можно взять, чтобы увидеть это непосредственно, то есть чтобы интеграл произведения был равен 0, а сама функция не 0?

[ИСН]

Вы знаете какую-нибудь полную систему, частью которой является эта неполная? Вот любую функцию оттуда и возьмите.

[max(Im)]

Не знаю, а как её узнать или найти?

[ИСН]

Тогда так: Вы знаете вообще какую-нибудь полную систему?

[max(Im)]

На $[-\pi,\pi]$ знаю стандартную тригонометрическую систему с синусами и косинусами, на этом... нет.

[ИСН]

Там (ну, не "там", а вообще) есть ещё какие-то другие полные системы. Одна - только из синусов, другая - только из косинусов. Знаете, откуда они берутся?

-- Пт, 2012-08-24, 13:20 --

Тем временем само стартовое утверждение вдруг сделалось мне сомнительно.

[max(Im)]

Не знаю, нам их просто написали. А потом рассматривался тригонометрический ряд Фурье... Вообще полноту доказывали через то, что в Евклидовом пространстве любая замкнутая является полной, а замкнутость тригонометрической доказывали отдельно. Про отдельно синусы и отдельно косинусы я слышал. Откуда они берутся?

[ИСН]

Ну как. Любую функцию можно разложить на синусы и косинусы. Сложим отдельно ту её часть, где только косинусы (ну, и константа). Что можно про неё сказать? Это чётная функция. А что такое чётная функция? Да это же любая функция на $[0,\pi]$, симметрично продолженная влево на $[-\pi,0]$. Вот и получается, что любая функция (где?) раскладывается на косинусы (какие?), т.е. это тоже полная система. Аналогично с синусами.

[max(Im)]

То есть на $[0,\pi]$ любая функция раскладывается по $\{\cos(kx)\}_{k=0}^{\infty}$ ?
А вот это "т.е. тоже полная система" - это следует напрямую из этого факта?

И как быть с $[0,\frac{\pi}{2}]$ ?

[ewert]

max(Im) в сообщении #609901 писал(а):

Ортогональная система $\{\sin(2k+1)x\}_{k=0}^{\infty}$ не полна в пространстве $C[0,\pi/2].$

Она, кстати, полна. Не считая, правда, того, что говорить о полноте в пространстве непрерывных функций как-то несколько неприлично вообще.

[max(Im)]

А чего неприличного?

И почему же она полна?

[ewert]

Неприлично потому, что в пространстве непрерывных функций своя метрика, полнота же понимается по отношению к совсем другой. Теория оказывается непоследовательной.

А полна она потому, что это -- система собственных функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля (это вообще весьма распространённый источник полных ортогональных систем).