Метод Лагранжа.Помогите привести кв. ф. к каноническому виду

[shady]

Дана квадратичная форма:$q(x)=2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2-2x_1x_2+4x_1x_3-3x_2x_3$
Выделим в квадратичной форме члены, содержащие $x_1:2x_1^2-2x_1x_2+4x_1x_3$ Дополним это выражение до полного квадрата членом, не содержащим$ x_1 $ и получим$ 2(x_1^2-x_1x_2+2x_1x_3)=2((x_1-x_2+x_3)^2+x_1x_2-x_2^2-x_3^2+2x_2x_3)$, но тут вылезает это слагаемое $x_1x_2$, которого быть не должно. Я не совсем понимаю как пользуясь этим методом, выделять полные квадраты. Объясните,пожалуйста, чтобы я мог двигаться дальше.

[Профессор Снэйп]

Может, лучше по канону: выписать матрицу квадратичной формы, найти её собственные значения и собственные векторы?..

[shady]

Нет, мне нужно научится пользоваться этим методом.

[ewert]

$x_1^2-x_1x_2+2x_1x_3=(x_1-\frac12x_2+\frac22x_3)^2+\text{нечто вполне приличное}$

-- Пт авг 17, 2012 14:30:48 --

Профессор Снэйп в сообщении #606994 писал(а):

Может, лучше по канону: выписать матрицу квадратичной формы, найти её собственные значения и собственные векторы?..

Доктор сказал в морг -- значит в морг, тем более что вряд ли здесь собственные числа найдутся явно.

[shady]

ewert в сообщении #606997 писал(а):

$x_1^2-x_1x_2+2x_1x_3=(x_1-\frac12x_2+\frac22x_3)^2+\text{нечто вполне приличное}$
.

Да, но объясните как Вы это получили.
Ааа, нужно вынесли двойку за скопки, а справа отнять слагаемые которые получатся после возведения в квадрат?

[Профессор Снэйп]

shady в сообщении #606995 писал(а):

Нет, мне нужно научится пользоваться этим методом.

Ну а что мешает найти ответ методом через матрицы, а потом простыми алгебраическими преобразованиями привести исходную формулу к нужному ответу? А на вопрос, откуда взялся ответ, сказать, что догадался

[ewert]

$(a+b+c+\ldots)^2=a^2+b^2+c^2+\ldots+2(ab+ac+bc+\ldots)$

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #606997 писал(а):

вряд ли здесь собственные числа найдутся явно.

Чегой это они не найдутся? Матрица $3 \times 3$, кубическое уравнение, формулы Кардано и вперёд!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #607001 писал(а):

Ну а что мешает найти ответ методом через матрицы, а потом простыми алгебраическими преобразованиями привести исходную формулу к нужному ответу?

Мешает то, что метод Лагранжа проводится до конца и явно всегда, а через собственные числа -- лишь если очень повезёт. Точнее, если составитель задачки специально составлял её под собственные числа. А если он составлял её под метод Лагранжа -- то с практически единичной вероятностью не повезёт.

А формул Кардано не бывает.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #607006 писал(а):

А формул Кардано не бывает.

А это что?

[shady]

Прекратите,пожалуйста,спорить! В этой теме меня не интересует ничего кроме метода Лагранжа.

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #607010 писал(а):

А это что?

это уродство (в т.ч. и по форме записи, но в первую очередь по самому факту своего существования)