О соотношении чистой и прикладной математики

[eugrita]

Обращаюсь к известному вопросу о соотношении чистой и прикладной математики.
Каждый выбирает для себя, чем заниматься.Я выбрал прикладную математику, моделирование.
Но все-таки глядя на установившиеся курсы, списки экзаменационных вопросов в лучшие ВУЗы не могу не задать себе вопрос - а для чего все это?
Cродни как во времена социализма над учеными стояло министерство и не выделяло денег пока не обоснуешь проект.
При все моем уважении к крупным математикам ,А.Н.Колмогорову, А.Н.Ширяеву, не могу понять зачем
а)практической теории вероятностей и матем.статистике нужна аксиоматика Колмогорова-Ширяева, теория меры
Зачем надо практикам при сдаче экзаменов по теор вероятности знать описание борелевских множеств и алгебр
зачем такой вопрос "Пи-класс и дельта-ласс. теорема Серпинского"
б)то же самое в математическом анализе, зачем нужны кроме интегралов Римана интегралы по Стильтесу, Лебегу
ведь даже интеграл Римана используется в приложениях в редких интегрируемых случаях а больше -численные методы.
Конечно пользу функционального анализа я не отвергаю - об этом была уже здесь дискуссия.
Уж лучше бы метод конечных элементов более наглядно преподавали - больше пользы для приложений

Я не отказываю в праве каждому заниматься чем он хочет,и понимаю всю сложность экономического существования математиков особенно в нашей стране, но зачем навязывать это другим хотя бы в виде экзаменационных вопросов?
----------------------------------------------------------------------------------------------
Обычное (хотя обычно и скрываемое) мнение как чистых математиков, так и теоретических физиков об "индустриальной и прикладной" математике состоит в том, что это — мафия слабых мыслителей, неспособных произвести никакие важные научные результаты, а просто эксплуатирующих достижения чистых математиков прошлых поколений, что члены этой мафии более заинтересованы в деньгах, чем в науке и безнадежно испорчены.
"Они так скромны, — сказал однажды один чистый математик, — что не надеются добиться чего-либо честным путем; им приходится отделяться от математиков просто для того, чтобы избежать честного соревнования".
Успенский начал первую лекцию так: "В последнее время многие математики уделяют серьезное внимание точному определению понятия целого числа. Но, господа, не будем же мы здесь тратить свое время на рассмотрение вопроса, ясного всякой рыночной торговке?

[Mitrius_Math]

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

то же самое в математическом анализе, зачем нужны кроме интегралов Римана интегралы по Стильтесу, Лебегуведь даже интеграл Римана используется в приложениях в редких интегрируемых случаях а больше -численные методы

А если функция неизмерима по Риману?

[ewert]

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

то же самое в математическом анализе, зачем нужны кроме интегралов Римана интегралы по Стильтесу, Лебегу

Как только вы вышли на теорию вероятностей -- вам необходим интеграл именно Стилтьеса, иначе вместо теории у вас окажется набор бессвязных заклинаний. Как только дошли до функционального анализа -- необходим интеграл Лебега, по аналогичным причинам. А без хотя бы элементов функционального анализа или хотя бы намёка на них тот же метод конечных элементов окажется не более чем чёрной магией.

Другое дело, что прикладникам все эти вещи не обязательно (и даже вредно) излагать детально; достаточно просто дать сводку результатов.

-- Чт авг 16, 2012 10:48:17 --

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

даже интеграл Римана используется в приложениях в редких интегрируемых случаях а больше -численные методы.

Это уже просто какая-то путаница. В "интегрируемых случаях" используется вовсе не интеграл Римана, а всего лишь первообразная. А прежде чем применять численные методы, необходимо сознавать, что, собственно, считается, т.е. знать определение интеграла хоть какое-то, хоть и по Риману.

Вот, собственно, для этого и нужно учить "чистой" математике. Чтобы у применяющего её на практике не возникало подобных праздных вопросов.

[epros]

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

Успенский начал первую лекцию так: "В последнее время многие математики уделяют серьезное внимание точному определению понятия целого числа. Но, господа, не будем же мы здесь тратить свое время на рассмотрение вопроса, ясного всякой рыночной торговке?

Это замечательный подход. Конечно, каждый определяет сферу своих интересов так, как считает нужным. Рыночной торговке вполне достаточно считать, что числа бывают не больше тысячи (а понадобится больше - подкорректируем понятия).

А возьмём для примера другую сферу практического применения понятия натурального числа: программирование. Вот Вы написали некоторую программу и хотели бы быть уверены в том, что она имеет точку останова. Математически это означает, что она закончит свою работу за конечное количество шагов. «Конечное количество» - это и есть про понятие натурального числа. Как Вы будете в этом убеждаться? Можно, конечно «практически»: если не закончила работу за 10 мин., то вырубаем питание. А можно аналитически: пытаемся, опираясь на некую аксиоматику, доказать, что точка останова есть. Это значит, что если нам не хватило ресурсов и терпения, чтобы дождаться останова, то нужно просто взять всего этого побольше.

[Oleg Zubelevich]

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

Я выбрал прикладную математику, моделирование.
Но все-таки глядя на установившиеся курсы, списки экзаменационных вопросов в лучшие ВУЗы не могу не задать себе вопрос - а для чего все это?

намек понятен?

[ewert]

Я всё-таки добавлю:

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

Успенский начал первую лекцию так: "В последнее время многие математики уделяют серьезное внимание точному определению понятия целого числа. Но, господа, не будем же мы здесь тратить свое время на рассмотрение вопроса, ясного всякой рыночной торговке?

Не знаю, какой Успенский имелся в виду и на какой предмет он ту лекцию читал. Если на предмет матанализа -- то он воистину прав: для матанализа тонкости формального определения целочисленности и впрямь бессмысленны. Но, между прочим, далеко не бессмысленны вопросы, связанные с определением вещественного числа; более того -- они и лежат в основании предмета. В любой математической дисциплине, имеющей хоть какую-то прикладную направленность, некоторые более фундаментальные вопросы приходится принимать на веру -- в надежде на то, что есть кто-то, кто этими вопросами интересовался и их обосновал. Ну а если обоснования оказываются неоднозначным -- из возможных вариантов выбирается тот, который даёт практически более значимые последствия. Математика, как ни странно -- тоже наука, и тоже соответствует правилу "практика -- критерий истины". И тоже является открытой системой.

[Ales]

epros в сообщении #606614 писал(а):

А можно аналитически: пытаемся, опираясь на некую аксиоматику, доказать, что точка останова есть. Это значит, что если нам не хватило ресурсов и терпения, чтобы дождаться останова, то нужно просто взять всего этого побольше.

А если программа будет работать сто лет?
Нужно не доказательство, а оценка.

[eugrita]

Ладно, насчет интеграла Римана я дал маху. У Колмогорова в Элементах теории функций и функционального анализа подробно разобрано.
И понимаю важность рядов Фурье, где тоже понятие интеграла Стилтьеса , и важность их оценки в т.ч. для правильной работы компьютерных программ.Вон недавно мучился для оценки скорости сходимости уравн.теплопроводности.
А про Успенского где-то взял из анекдотов про математиков из интернета

[eugrita]

кстати какой вид сходимости обозначается символом стрелка вверх
поточечная (почти наверное) или другой?
(такого обозначения в списке символов Latex даже не нашел)

------------------------------------------------------------------------
УСПЕНСКИЙ Яков Викторович (11.5.1883, Урга, Монголия - 27.1.1947, Сан-Франциско, шт. Калифорния, США) - математик. Родился в семье дипломата. В 1903 поступил на математическое отделение физико-математического факультета Петербургского университета. В 1906 досрочно окончил университет с дипломом 1-й степени. Свою первую научную работу написал еще в студенческие годы. Был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию; вел практические занятия и читал лекции по теории чисел, а позднее, став преподавателем, по исчислению конечных разностей и по теории эллиптических функций.

[epros]

Ales в сообщении #606800 писал(а):

Нужно не доказательство, а оценка.

В общем да, правильное уточнение. Но тут вот ещё какое дело. Допустим, что на каких-то аргументах программа может заведомо не заканчивается. Можно тупо во всех таких случаях ждать по 10 мин. А если таких случаев во входном потоке данных - 90%? Накладно получается. Другое дело, если, проанализировав код, удастся 99.99% таких случаев сразу исключить. В оставшихся случаях можно и 10 мин. подождать.

[Munin]

(Оффтоп)

eugrita в сообщении #606875 писал(а):

(такого обозначения в списке символов Latex даже не нашел)

Плохо искали.

Цитата:

Т9.1) Для любой с в $\xi(\omega)$ найдётся посл-ть простых с в $\xi_1,\xi_2,\ldots$ таких что $|\xi_n|\leqslant|\xi|$ и $\xi_n(\omega)\rightarrow\xi(\omega)$ при $n\rightarrow\infty$ для всех $\omega\in\Omega.$
2) Если с в $\xi(\omega)\geqslant 0$ то найдётся посл-ть простых с в $\xi_1,\xi_2,\ldots$ таких что $\xi_n\uparrow\xi,$ $n\rightarrow\infty$ $\forall\omega\in\Omega.$

[hazzo]

epros в сообщении #606614 писал(а):

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

А возьмём для примера другую сферу практического применения понятия натурального числа: программирование. Вот Вы написали некоторую программу и хотели бы быть уверены в том, что она имеет точку останова. Математически это означает, что она закончит свою работу за конечное количество шагов. «Конечное количество» - это и есть про понятие натурального числа. Как Вы будете в этом убеждаться? Можно, конечно «практически»: если не закончила работу за 10 мин., то вырубаем питание. А можно аналитически: пытаемся, опираясь на некую аксиоматику, доказать, что точка останова есть. Это значит, что если нам не хватило ресурсов и терпения, чтобы дождаться останова, то нужно просто взять всего этого побольше.

Проблема останова неразрешима. Теорема Тьюринга.

[Portnov]

Это в общем случае она неразрешима. А для некоторых конкретных классов алгоритмов — очень даже разрешима.

[epros]

И, кстати, выше я писал не о разрешении проблемы останова для программы, а об отбрасывании части аргументов, для которых можно доказать отсутствие точки останова.

[hazzo]

epros в сообщении #606614 писал(а):

eugrita в сообщении #606602 писал(а):

А возьмём для примера другую сферу практического применения понятия натурального числа: программирование. Вот Вы написали некоторую программу и хотели бы быть уверены в том, что она имеет точку останова. Математически это означает, что она закончит свою работу за конечное количество шагов. «Конечное количество» - это и есть про понятие натурального числа. Как Вы будете в этом убеждаться? Можно, конечно «практически»: если не закончила работу за 10 мин., то вырубаем питание. А можно аналитически: пытаемся, опираясь на некую аксиоматику, доказать, что точка останова есть. Это значит, что если нам не хватило ресурсов и терпения, чтобы дождаться останова, то нужно просто взять всего этого побольше.

Читаете хорошо что в цитате. Это и есть про проблему останова в общем случае. Ведь сказано Вот Вы написали некоторую программу. не сказано какую.Потом сказано А можно аналитически: пытаемся, опираясь на некую аксиоматику, доказать, что точка останова есть..
Тьюринг доказал нет общего алгоритма, т.е. в природе нет такой аксиоматики.