множество всех групп не является малым множеством

[xmaister]

Требуется доказать, что множество всех групп не является малым множеством.
Произвольная группа $\langle A,f\rangle=\{\{A\},\{A,f\}\}\in U$. Навереное тут тоже надо использовать аксиому фундирования, по аналогии с тем, как доказывается $U\not\in U$. Но как не знаю.

[Joker_vD]

Возьмем множество всех групп и введем на нем групповую операцию...

[xmaister]

Как? Мы же не знаем, принадлежит ли множество всех групп универсуму или нет. Вы имеете ввиду предположить, что принадлежит? Ну тогда и множество всех групп с групповой операцией тоже будет принадлежать универсуму. А на любом множестве существует групповая операция?

[Joker_vD]

xmaister в сообщении #549652 писал(а):

А на любом множестве существует групповая операция?

$S$ равномощно множеству своих конечных подмножеств. Подумайте, какую операцию вы можете придумать для множества конечных подмножеств $S$?

[xmaister]

Симметрическая разность? Тогда да, получается, что можно. А с исходным вопросом что делать?

[Joker_vD]

xmaister
Я, честно говоря, не очень знаком с универсумным вариантом теории множеств. Я так понимаю, "малое множество" — это множество, являющееся элементом универсума? Если да, то все довольно просто: если множество всех (малых) групп принадлежит универсуму, то оно само может быть превращено в группу, а дальше — аксиома фундирования; если же оно универсуму не принадлежит... ну и здорово, ч.т.д.

[xmaister]

Joker_vD в сообщении #549661 писал(а):

"малое множество" — это множество, являющееся элементом универсума?

Да. Если мы превратили множество всех групп в группу, то это множество всех групп стало упорядоченной парой из универсума. Я не понимаю как это будет противоречить аксиоме фундирования? Проблема в том, что множество $A$ не равно $\langle A,f\rangle$ для любой групповой операции $f$. И доказательства $U\not\in U$ не достаточно.

[Joker_vD]

Пусть $\mathfrak G$ — множество всех групп. Тогда

$$\mathfrak G \in \{\mathfrak G\} \in \biggl\{\{\mathfrak G\}, \left\{\mathfrak G,\widetilde\triangle\right\}\biggr\} = \left\langle\mathfrak G,\widetilde\triangle\right\rangle \in \mathfrak G.$$

[muzeum]

Что такое "малое множество"?

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #549623 писал(а):

Требуется доказать, что множество всех групп не является малым множеством.

Другими словами, не множество, а собственно класс...

Групп слишком много. И мощность группы ничем не ограничена, и даже если её ограничить, всё равно останется слишком много возможностей для выбора носителя. В частности, не является множеством совокупность всех единичных групп

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #606502 писал(а):

В частности, не является множеством совокупность всех единичных групп

Ну это Вы уже перегибаете - изоморфные, ежу ясно, за одну считать надо.

[muzeum]

Ну, если малое множество - это просто множество (в смысле теории множеств с классами, скажем, Морса или GB), то все просто. Предположим, что какие-либо представители классов изоморфности всех групп образовали множество. Тогда группа перестановок дизъюнктной суммы этого множества или группа подмножеств этой самой суммы относительно операции симметрическая разность, не могут иметь своего представителя в такой совокупности.

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #606502 писал(а):

собственно класс...

Кто такой? $ZFC$ с аксиомой универсума же с классами не работает, разве нет?

[VAL]

[deleted]

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #614322 писал(а):

Кто такой? с аксиомой универсума же с классами не работает, разве нет?

Работает в смысле класс = свойство. Можно для удобства говорить о классах, оставаясь в рамках ZFC: при этом надо быть аккуратным и строить утверждения так, чтобы их можно было переписать, не используя слова класс.

К примеру, если я скажу, что класс всех абелевых групп есть подкласс класса всех групп, это будет достаточно корректно, ибо в переводе на "безклассовый" язык это будет всего лишь означать, что каждая абелева группа является группой

Удобство возникает, когда в рамках теории моделей начинают говорить об аксиоматизируемых классах. Вот там оказывается сплошь и рядом, что про классы говорить короче и яснее, чем проговаривать всё без них. Пример: класс полей характеристики ноль аксиоматизируем, но не конечно аксиоматизируем; класс групп с выделенной единицей универсально аксиоматизируем и т. п... Но перевести на "безклассовый" язык всё всегда можно