домино

[незваный гость]

dolopihtis писал(а):

По идее скорость волны должна увеличиваться, т. к. первая доминошка падает и сообщает импульс следующей, следующая соответственно падает быстрей первой и сообщает еще больший импульс следующей и т. д.

Согласен. Только вот... Вы никогда не слышали об ограниченных возрастающих последовательностях?

[dolopihtis]

незванный гость писал(а):

:evil:
Согласен. Только вот... Вы никогда не слышали об ограниченных возрастающих последовательностях?

Я сказал только, что скорость будет увеличиваться. Я НЕ сказал , что она будет стремиться к бесконечности.

[LynxGAV]

Тащусь от спецэффектов в последней серии...
Но мне никогда не быть экспериментатором .

[незваный гость]

dolopihtis писал(а):

Я сказал только, что скорость будет увеличиваться. Я НЕ сказал , что она будет стремиться к бесконечности.

Еще раз согласен. Простите, пожалуйста. Понял неправильно.

[Someone]

незванный гость писал(а):

:evil:

dolopihtis писал(а):

Я сказал только, что скорость будет увеличиваться. Я НЕ сказал , что она будет стремиться к бесконечности.

Еще раз согласен. Простите, пожалуйста. :oops: Понял неправильно.

Она должна очень быстро стабилизироваться.

[dolopihtis]

По прикидкам, если l - длина доминошки, а расстояние между ними (l-eps.), где eps. очень маленькое, то скорость будет расти как exp(eps.*n/l) ,где n - номер доминошки.

Это если толщина доминошки равна 0 и снизу они закреплены на идеальных шарнирах , а также нет трения.

[незваный гость]

Лично мое мнение: $v_n = v_\infty \sqrt{1-q^n}$ для некоторого $q$. Соответственно, стабилизируется, как и говорит Someone весьма быстро. Хотя, чем меньше расстояние между домино, тем ближе $q$ к 1.

[незваный гость]

dolopihtis писал(а):

По прикидкам, если l - длина доминошки, а расстояние между ними (l-eps.), где eps. очень маленькое, то скорость будет расти как exp(eps.*n/l) ,где n - номер доминошки.

Странно мне это слышать. Поскольку энергия движения берется из поля тяготения. Значит, максимальная энергия, которую могут накопить $n$ домино, полностью упав, есть $n E_0$. Соответсвенно и потолок скорости никак не может быть больше чем $\sqrt{n \frac{2 E_0}{m}}$. То есть корень квадратный, а никак не экспонента.

[dolopihtis]

незванный гость писал(а):

:evil:

dolopihtis писал(а):

По прикидкам, если l - длина доминошки, а расстояние между ними (l-eps.), где eps. очень маленькое, то скорость будет расти как exp(eps.*n/l) ,где n - номер доминошки.

Странно мне это слышать. Поскольку энергия движения берется из поля тяготения. Значит, максимальная энергия, которую могут накопить $n$ домино, полностью упав, есть $n E_0$. Соответсвенно и потолок скорости никак не может быть больше чем $\sqrt{n \frac{2 E_0}{m}}$. То есть корень квадратный, а никак не экспонента.

Да , здесь я поторопился. Я преполагал, что каждое домино при падении передает следующему определенную часть своего импульса, независящую от n. А это судя по всему не так.

[LynxGAV]

dolopihtis писал(а):

Да , здесь я поторопился. Я преполагал, что каждое домино при падении передает следующему определенную часть своего импульса, независящую от n. А это судя по всему не так.

LynxGAV (второе сообщение в форуме) писал(а):

Берешь одну доминошку, которая упала и толкнула следующую на определенной высоте, придав импульс такой-то (высота от геометрии зависит, импульс зависит от номера доминошки)...

[dolopihtis]

LynxGAV писал(а):

dolopihtis писал(а):

Да , здесь я поторопился. Я преполагал, что каждое домино при падении передает следующему определенную часть своего импульса, независящую от n. А это судя по всему не так.

LynxGAV (второе сообщение в форуме) писал(а):

Берешь одну доминошку, которая упала и толкнула следующую на определенной высоте, придав импульс такой-то (высота от геометрии зависит, импульс зависит от номера доминошки)...

Не сам импульс, а доля импульса (скажем 10% импульса не зависимо от n передается следующей доминоке). Но это неверно, иначе скорость росла бы экспоненциально.

[LynxGAV]

dolopihtis писал(а):

Это если толщина доминошки равна 0 и снизу они закреплены на идеальных шарнирах , а также нет трения.

Это выводы, сделанные после рассмотрения данной модели?
Неохота размениваться на фразы. Давайте немного подождем .

[незваный гость]

Я обсуждал последующий расчет с LynxGAV, и она очень помогла мне понять, что же я на самом деле думаю ( в отличие от того, что я думаю я думаю ). Кроме того, она поправила многие мои ошибки и заблуждения. Следовало бы вероятно сделать это сообщение совметстно, но - никак. Тем не менее - оставшиеся ошибки и глупости - мои! Не поделюсь, и не просите.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Обозначим длину домино $l$, расстояние между передней и задней стороной соударяющихся домино $d$, толщина домино - $h$ ($|O_1O_X| = d$, $|O_1O_2| = d + h$).



Мы делаем следующие предположения:

1. Нет проскальзывания и силы трения.
2. Столкновение мгновенно, упруго, не рассеивает энергию, и, соответственно, мгновенно меняет угловые скорости $\dot \varphi_n$. В частности, это означает, что действующие силы бесконечны, и по сравнению с ними при рассмотрении столкновения силой тяжести можно пренебречь.
3. После столкновения домино продолжают двигаться раздельно (нет “слипания”). Мы пренебрегаем взаимодействием домино после первого столкновения.

С каждым из этих предположений можно спорить, но мы их все равно примем для первого приближения, оставив дискуссию для построения лучших оценок.

Поскольку нет проскальзывания, то движение каждого домино является вращением относительно $O$, и может быть охарактеризовано одной координатой $\varphi$. Нам удобно отсчитывать $\varphi$ от вертикали против часовой стрелки.

Дабы выглядеть наукообразно , выпишем лагранжиан: $L=\frac{m l^2}{6}\dot \varphi^2 - \frac{m g l}{2} \cos \varphi$. Для всего семейства, вестимо, лагранжиан будет суммой лагранжианов отдельных домино. А самое главное, мы его нигде и не собираемся использовать

Очевидно, что скорость падения второго домино зависит от скорости первого (я бы даже не побоялся слова - пропорциональна). Таким образом, в момент столкновения с третьим к этой энергии добавляется константная прибавка от тяготения - и процесс повторяется. Если при столкновении передается не вся энергия, то в цепочке начальная скорость домино будет стремиться к некоторому пределу - то есть, мы будем иметь дело с установившимся процессом. Его условием является (начальная энергия первого домино + прибавка от тяжести) * коэффициент передачи = начальной энергии второго домино.

Если бы установившегося процесса не было, мы бы видели один из двух исходов - или затухание, или щелчок на конце бича (скорость становиться бесконечной). Ни то, ни другое не наблюдается в жизни.

Коэффициент передачи зависит от расстояния между домино - это очевидно. Менее очевидно, зависит ли он от скорости. Мы, однако, можем этим высокомерно пренебречь, поелику в установившемся режиме все столкновения происходят с одной и той же скоростью.

Пусть скорость первого домино до столкновения $\dot \varphi_1$, второго - $\dot \varphi_2 = 0$, а после столкновения - $\dot \psi_1$ и $\dot \psi_2$ соответственно. Дополнительно обозначим $\varphi^*$ - угол первого домино в момент столкновения ($\sin \varphi^* = \frac{d}{l}$).

Мы ловко обойдем вопрос о направлении сил в момент столкновения, введя угол $\theta$. (См. обсуждение ниже). Тогда момент $F_1$ относительно $O_1$ равен $(-F \cos (\varphi^*-\theta)) l$. Расстояние $|O_2X|$ равно $\frac{|O_XX|}{\cos \beta} = \frac{l \cos \varphi^*}{\cos \beta}$, поэтому момент $F_2$ равен $(F \cos (\theta+\beta))(l \frac{\cos\varphi^*}{\cos \beta})$. При достаточно далеко стоящих домино $\theta+\beta > \pi/2$, что физически интерпретируется как отсутствие опрокидывающего момента – модель становится неверна. Начинают существенно играть силы трения.

Соответсвенно и приращения угловой скорости соотносятся как $\frac{\dot \psi_1-\dot \varphi_1}{\dot \psi_2} = -\frac{\cos (\varphi^*-\theta) \, \cos \beta}{\cos (\theta + \beta) \, \cos{\varphi^*}}$. Сие хитрое отношение косинусов мы обозначим за $k$ и пока забудем. То есть, $\frac{\dot \psi_1-\dot \varphi_1}{\dot \psi_2} = -k$, или $\dot \varphi_1 = \dot \psi_1 + k \dot \psi_2$. (Считая домино тонким, имеем $k = 1 + \tg \theta \, \tg \varphi^* > 1$. Кажется, что для толстого домино $k < 1$ следует интерпретировать как ситуацию, при которой модель становится неверной – либо не образуется волны вовсе, либо для описания процесса необходимо учитывать силу трения.)

Теперь уместно вспомнить закон сохранения энергии, который по причине равенства моментов инерции сводиться к $\dot \varphi_1^2 = \dot \psi_1^2 + \dot \psi_2^2$. Подставляем $\dot \psi_1$ и решаем относительно $\dot \psi_2$: $\dot \psi_2=\frac{2 k}{k^2+1}\dot \varphi_1$. Теперь легко найти и $\dot \psi_1$: $\dot \psi_1=-\frac{k^2-1}{k^2+1}\dot \varphi_1$.

Применим теперь закон сохранения энергии вторично, на сей раз для свободно падающего домино. Коли начальная скорость домино $\dot \psi_2$, имеем (в установившемся режиме) $\frac{1}{2}\frac{m l^2}{3}\dot \psi_2^2+m g \frac{l}{2} = \frac{1}{2}\frac{m l^2}{3}\dot \varphi_1^2+m g \frac{l}{2}\cos\varphi^*$. Откеле выводим $\dot \psi_2 = \sqrt{\frac{6g}{l}} \sin\frac{\varphi^*}{2} \frac{2k}{k^2-1}$, $\dot \varphi_1 = \sqrt{\frac{6g}{l}} \sin\frac{\varphi^*}{2} \frac{k^2+1}{k^2-1}$.

Время падения (до столкновения) считается строго через интеграл:
$T = \sqrt{\frac{l}{6 g}}\int\limits_0^{\varphi^*}\frac{{\rm d} \varphi} {\sqrt{(\frac{2k}{k^2-1}\sin\frac{\varphi^*}{2})^2 + \sin^2\frac{\varphi}{2}}}$. Но мы, люди простые, заметим, что для малых углов разница между начальной и конечной скоростью падающего домино не так уж велика, и можно определить некоторую среднюю скорость: $\dot \varphi_{avg} = \sqrt{\frac{6g}{l}} \sin\frac{\varphi^*}{2} \frac{2k + \xi (k-1)^2}{k^2-1}$ (для некоторого $\xi$ между 0 и 1). Тогда $T = \frac{\varphi^*}{\dot \varphi_{avg}}$. Поскольку за это время волна проходит расстояние $d + h$, имеем $v = \frac{d+ h}{T} = $ $\frac{d+h}{\varphi^* / \dot \varphi_{avg}} = $ $\frac{d+h}{\varphi^*} \dot \varphi_{avg} = $ $ \sqrt{6 g l} \, \frac{d+h}{l} \, \frac{ \sin\frac{\varphi^*}{2}}{\varphi^*} \, \frac{2k + \xi (k-1)^2}{k^2-1}$.

Итого. Во-первых, мы подсчитали скорость волны. Во-вторых, волна по мере сближения домино ускоряется. В-третьих, чуть более точный анализ показывает, что все скорости и времена сходятся к установившемуся режиму экспоненциально быстро (хотя, чем ближе домино, тем медленнее сходятся).

Для тонких домино $v \approx \sqrt{6 g l} \, \frac{\cos \varphi^*}{\theta}$.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Некоторые дискуссионные моменты:

1) О кино и эксперименте. Наш эксперимент ограничен возможностями аппаратуры. Очевидно, для получения достоверной картины падения 30 кадров в секунду не достаточно. Но другого нет. Кроме того, “хорошая мысля приходит опосля”, следовало бы нанести линейку. Это бы позволило оценить проскальзывание. Может быть, удастся повторить, (ближе к лету, на солнышке, чтобы не было проблем с освещением). Обработка данных эксперимента продолжается (читаем - опубликуем позже, чтобы сравнение не смазывало красивую теоретическую картинку).

2) О “слипании”. Были многия сообщения, и подтверждаемые визуальным наблюдением, что пренебрегать взаимодействием после первого столкновения нельзя. Нам представляется, что все-таки можно. Во-первых, все происходит слишком быстро, чтобы быть видимо глазу. Во-вторых, представим себе группу “тонких” домино, закрепленных на вертикальных осях за основание горизонтально. При взаимодействии в такой группе вряд ли кто-либо будет говорить о “слипании”. В-третьих, наши вычисления показывают небольшое обратное движение (отрицательный $\dot \psi_1$). (Это-то ничего не доказывает, так как мы используем наши вычисления чтобы доказать корректность наших предположений. Но вот обратная ситуация доказывала бы противоречивость модели. Вот если бы нам удалось его наблюдать! Вот это было бы доказательство!).

3) Об угле сил, действующих в момент столкновения $\theta$. Это предмет особой дискуссии. LynxGAV считает, что его следует (по крайней мере, принято) брать равным 0 (то есть, перпендикулярным второму домино). Я полагаю, что резоннее брать перпендикулярным к первому ($\theta = \varphi^*$), ну или близким к этому значению (независимо от сил трения, просто рассматривая упругую деформацию). Какие есть мнения? Есть ли физические соображения, позволяющие решить этот вопрос?

[LynxGAV]

Плохо, что не отреагировала на Ваш последний трактат схожим трактатом, может бы и убедила по одному пункту, после какого в рамках данной модели можно смело ставить точку . Ну что ж, придется дела семейные выносить на суд общественный.

Вижу маленикие изменения в рисунке, общую картину только украшающие .

Дискуссионные моменты:
1) Ясно.
2) В этой модели "слипанию" просто неоткуда взяться. В реальном эксперименте на данный момент ничего выяснить не удается.
3)

незванный гость писал(а):

Есть ли физические соображения, позволяющие решить этот вопрос?

Вы по адресу, бывала я на физтехах, а не отвечу - стыдно будет.
Сначала привожу некоторые наши обсуждения по этому поводу.
Необходимое, на мой взгляд, предварительное описание роли трения (капля в море):

незванный гость писал(а):

Если бы установившегося процесса не было, мы бы видели один из двух исходов - или затухание, или щелчок на конце бича (скорость становится бесконечной). Ни то, ни другое не наблюдается в жизни.

LynxGAV писал(а):

Затухание не наблюдается, потому что диссипативные силы в системе малы. Если увеличить трение между доминошками, наверняка в какой-то момент волна начнет затухать. То есть это означает, что в Вашей бездиссипативной теории затухания, наверное, нет, хотя на самом деле может и быть. Щелчок не наблюдается экспериментально по похожей причине – потому что диссипация (ТРЕНИЕ) всегда замедляет волну и не дает скорости стать слишком большой. То есть это означает, что в бездиссипативной теории, скорее всего, как раз скорость будет стремиться к бесконечности (для общих произвольно взятых параметров), а на самом деле ее, конечно, не бывает. Тем не менее, это не значит, что описание такое плохое – оно будет работать до определенной скорости.

Принципиальный момент:

незванный гость писал(а):

Вопрос - существуют ли какие либо физические соображения, позволяющие определить $\theta$ - угол между горизонталью и силой $F_2$? На данный момент я принимаю его в диапазоне $0..\varphi^*$, хотя и склонен считать его ближе к $\varphi^*$.

LynxGAV писал(а):

В модельных задачах с бесконечно тонкими палками всегда считается, что такая сила направлена по нормали к поверхности, то есть $\theta=0$. Если уж Вы принимаете, что домино бесконечно тонкие, то берите так. На самом деле силе больше некуда быть направленной, в особенности раз Вы выкидываете силу трения. То что направлено НЕ по нормали к плоскости второй доминошки, это как раз будет трение, а чего тогда его оставлять здесь и выкидывать в других местах???

незванный гость писал(а):

Мне очень трудно представить это все. Когда я бью молотком по доске, вмятина паралельна плоскости молотка, а не доски. Поэтому мне как-то естественнee предположить $\theta = \varphi^*$. То есть сила направлена перпендикулярно поверхности ударяющего домино. Почему - не знаю. Дело не совсем в трении. Скорее в упругой деформации ударяемого домино.

Где-то, не могу найти где, незванным гостем приводился случай столкновения шаров разной массы.

1) Если домино бесконечно тонкое (было такое в начале), то единственная плоскость, нормаль к которой можно построить - это поверхность того домино, НА которое падает то, которое толкают.
2) Сначала меня интересует картинка. Её надо повернуть на 90º и представить, что шар - это на самом деле сильно увеличенный угол домино, кот. падает.
Если домино не бесконечно тонкое, то можно нарисовать профиль его "кончика". Это будет что-то более-менее круглое. Точка столкновения - это точка касания плоскости того домино, НА кот. падает и точки на поверхности "полушарика", который представляет собой "конец" падающего домино. См. ЛЛ "Теория упругости" (постоянно забываю, третий том, кажется) - шар лежит на плоскости. РАЗНОЙ массы! Так что сила между ними направлена по нормали к поверхности соприкосновения и, следовательно, горизонтально. Поэтому, если конечной ширины, то НОЛЬ, ближе к чему-то еще, если будет ТРЕНИЕ и смотря какое ТРЕНИЕ, к тому и ближе. Именно что конечность Вам тут не помогает, помогла бы только сила трения, которой нигде нет, поэтому и здесь не должно быть.

С другой стороны такая "подгонка" нам на руку.
Еще один важный момент, который в Вашем сообщении не упонимается, но мне был высказан, я прокомментирую в ПМ.

[незваный гость]

Пожалуй, меня эти соображения начали убеждать. По крайней мере, заставляют задуматься, в чем дело. При любом раскладе, поскольку домино имеют конечную толщину, $\beta \ne 0$ позволяет сохранить модель.

Пример с молотком все-таки не дает мне покоя -- вмятина паралельна движению молотка, а не перпендикулярна плоскости. С некоторым натягом поверхность домино можно вообразить себе как набор пружин (расположенных "лесенкой"), перпендикулярных плоскости движения первого домино. Первое домино при столкновении начинает сжимать эти пружины, и возникает сила под углом к поверхности второго домино, паралельная к скорости первого. Строго говоря, хотя этот подход и опирается на шерховатости, неровности поверхности домино, прямого отношения к трению он не имеет.

Меня смущает, однако, мяч, прыгающий на плоскости. С ним это почему-то не работает. Не могу ухватиться, в чем разница. На первый взгляд, в том, что поверхность шара всегда перпендикулярна плоскости. Ну и что? В конце концов, дырка от шарообразной пули будет идти наискось. И импульс она сообщит тоже косой.