
Так как ускорение перпендикулярно скорости, абсолютная величина скорости (обозначим

) постоянна. Перейдем к натуральному параметру

, заменяя

на

:

Новая константа

.
Допустим, мы доказали, что кривая

, удовлетворяющая этому уравнению, лежит на некотором конусе с вершиной в начале координат (для каждой кривой может быть свой конус). Покажем, что тогда

является геодезической на этом конусе.
Рассмотрим некоторую точку кривой

. Раз вершина конуса в начале координат, соответствующий точке вектор

будет касательным к поверхности конуса. Вектор

также касательный. Тогда их векторное произведение нормально к поверхности конуса (если не равно нулю), и то же верно для

.
Введем на конусе координаты

. Все индексы относятся только к этим координатам и принимают значения

и

. Обозначим

.
В рассматриваемой точке базисными векторами будут

. Оба они касательны к поверхности, поэтому

. Преобразуем "ускорение":

Подставим это в

:

Известно, что

. Докажем, что

:


Вместо скалярных произведений в

подставим

и

:

Поднимая индекс

(домножая на

), получим, что координаты

на кривой удовлетворяют уравнению геодезической:
