Доказать неравенство для n >= 4

[armez]

Доказать что если $a_k > 0, k=1, 2, ..., n, n \geq 4,$ то
$\frac{a_1}{a_n+a_2}+\frac{a_2}{a_1+a_3}+...+\frac{a_n}{a_{n-1}+a_1} \geq 2.$

При чётном n знаменатель каждой дроби увеличится, если заменить его суммой всех чисел $a_k$, номера которых имеют ту же чётность, что и исходные два числа, стоящие в знаменателе этой дроби. Тогда половина всех дробей будет содержать в знаменателях сумму всех чисел с чётными номерами, а половина - с нечётными. После сложения всех дробей с одинаковыми знаменателями в левой части остаются две взаимно обратные дроби, и их сумма не меньше 2.

При нечётных n эта идея не проходит. Хотелось бы увидеть доказательство этого неравенства для любых n.

Заранее спасибо.

[TR63]

Даны три положительных числа $a,b,c$. Известно, что $b>c$. Доказать, что $a+b>c$.

[armez]

TR63, это доказательство?

[TR63]

Это-идея(подсказка,аналогия). Удивляюсь. Вы решили сложную часть(в которую я даже не вникала) и застряли на элементарном. (Или я чего-то не понимаю.)
Попробуйте предположить, что при нечётном существует противоположное неравенство. И учтите, что для чётных результат у Вас доказан.

[arqady]

armez в сообщении #605197 писал(а):

Доказать что если $a_k > 0, k=1, 2, ..., n, n \geq 4,$ то
$\frac{a_1}{a_n+a_2}+\frac{a_2}{a_1+a_3}+...+\frac{a_n}{a_{n-1}+a_1} \geq 2.$

После применения неравенства Коши-Шварца-Буняковского Вам останется доказать, что
$(a_1+a_2+...+a_n)^2\geq4(a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1)$, а это действительно верно для $n\geq4$.

-- Вс авг 12, 2012 13:20:25 --

TR63, у меня к Вам просьба. Перестаньте, пожалуйста, сыпать бессвязными, не имеющими никакого отношения к делу высказыванями. Подумайте сами сначала, стоит ли писать то, что Вы пишите, правильно ли это, ведёт ли это к доказательству и не оставляйте эти проверки другим. Вам стоит этим заняться, так как подавляющее большинство Ваших выступлений ошибочно.

[TR63]

(Оффтоп)

Если моё выступление ошибочно и некто мне указал(или помог понять), где ошибка, то я такому человеку весьма благодарна. Если на этом Форуме запрещено учиться, то я, arqady, постараюсь учесть Ваше замечание. В идее, предложенной мною, я не вижу ошибки при условии, что неравенство доказано ТС для чётных n.

[armez]

arqady, спасибо.

Цитата:

После применения неравенства Коши-Шварца-Буняковского...

- не сразу заметил, что оно здесь срабатывает.

Тема закрыта.

[arqady]

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #605288 писал(а):

Если на этом Форуме запрещено учиться, то я, arqady, постараюсь учесть Ваше замечание.

Разве я где-то на это намекал? Учитесь на здоровье и здесь охотно Вам помогут и я в том числе, только не делайте вещей, о которых я писал в своём предыдущем посте, а Вы продолжаете этим заниматься:

TR63 в сообщении #605288 писал(а):

В идее, предложенной мною, я не вижу ошибки при условии, что неравенство доказано ТС для чётных n.

Смотрите, шлёпнуть что-то правдоподобное и надеяться на то, что это может быть поможет, каждый может! Покажите, что Вы имеете в виду. Как эта Ваша "идея" на самом деле работает. Только проверьте сначала, что она на самом деле работает. Иначе получится то же самое и обычное Ваше выступление. Уж постайрайтесь, пожалуйста.
Если же Ваша "идея" не проходит, то лучше ничего не писать. Никто Вас за это не расстреляет.