Правильно ли решила?

[Yolka]

Найти уравнение касательной и уравнение нормальной плоскости к пространственной линии $r=r(t)=(t^2+2t)i+(1-t^2)j+(t^3+3t)k $в точке t0=0. В этой же точке вычислить кривизну линии.
X’=t2+2t
Y’=1-t2
Z’=t3+3t

Элемент кривой
$ds=\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}=\sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2} \dt$ , следовательно
$s' = \frac{ds}{dt} =\sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2}\ = \sqrt{9t^4+26t^2+8t+13}$.

Уравнение прямой в пространстве в векторной форме выглядит так:
$r(h) = r_0 + ah$ ,
где r(h) - радиус-вектор точки, лежащей на данной прямой и соответствующей какому-то значению h; r0 - радиус-вектор какой-то конкретной точки, через которую проходит прямая, эта точка на прямой соответствует h = 0; a - т.н. направляющий вектор прямой {им может быть любой вектор, параллельный данной прямой}; h - вещественный параметр, принимающий значения от $\-infty\$ до $\+infty\$ {т.е. каждому значению h соответствует одна точка на данной прямой, положение которой задаётся вектором r при этом значении h}.

Вектор r0 у нас есть. Им может служить вектор r(t) при t = 0 :
r(0) = j - k .
Надо найти направляющий вектор a. Это можно сделать так:
$a = i\cos\alpha + j\ cos\beta + k \cos\gamma $,
где alpha, beta и gamma - углы, которые составляет касательная в данной точке с осями OX, OY и OZ соответственно. Вполне очевидны такие равенства:
$cos\alpha\ = \frac{dx}{ds} \= \frac{x'} {s'} $;
$cos\beta\ = \frac{y'}{s'} $;
$cos\gamma\ = \frac{z'}{s'}$ .
Воспользовавшись полученными ранее выражениями для производных и подставив t = 0 будем иметь
$cos\alpha\ =\frac{2}{\sqrt13}$
$cos\beta\ = \0 ;$
$cos\gamma\ =\frac{3}{\sqrt13}$
Вот и уравнение касательной
$r =j - k +\frac{2i}{\sqrt 13} + \frac{3k}{\sqrt13}\h$ , или, что то же,
$r =j - k - (-2i - 3k)h$.

Уравнение плоскости в пространстве (скалярное):
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+с(z-z_0) = 0 $,
где a, b и c - составляющие вектора нормали к данной плоскости; x0, y0, z0 - координаты какой-либо точки этой плоскости (например, рассмотренной ранее точки кривой при t = 0, радиус-вектор которой равен j - k).
Найденный чуть ранее направляющий вектор касательной является, очевидно, нормальным к нормальной плоскости. Уравнение плоскости:
2x + 3z + 1 = 0 .

А дальше не знаю как найти кривизну линии. Помогите пожалуйста кто знает

[нг]

Пользуйтесь тегом [math]. Читать Ваши формулы — просто мука!

Если формулы не будут исправлены, тема уйдет в Карантин.

[Pyphagor]

Направляющий вектор касательной в точке t[0] будет r’(t[0]) . Зная направляющий вектор и точку на прямой можно написать уравнение касательной ( и если надо перевести в векторное).
У Вас имеется ошибка! r[0]= {0;1;0}= j, а не j-k. В следствии этого ур-ие нормали 2x+3z=0 ( точка (0;1;0) не принадлежит 2х+3z+1=0)
Для нахождения кривизны кривой в точке ( надо полагать, что Вы это имели в виду )
Если кривая имеет представление r=r(t), r’(t[0]) не равно 0, то
K= { r’(t) * r’’(t)}/ {r’(t)}^3 , где надо подставить t=t[0]. Здесь {} – модуль вектора,
*- векторное произведение. Векторное произведение можно посчитать как определитель 3-го порядка:
I J K
R’(t)* R’’(t)= { X’(t) Y’(t) Z’(t) }
X’’(t) Y’’(t) Z’’(t)
Вывод и доказательство можно найти в Л.Д. Кудрявцев “Математический анализ’’ , 1 том стр. 216-246.
Счастливо!

[Yolka]

Спасибо, Pyphagor, сейчас буду разбираться

[нг]

Пожалуйста, исправьте формулы. Сообщите через ЛС модератору

Сделано. Тема возвращена.