Помогите с оценками производных решения эллиптического урчп

[Gonobobel]

Пусть при каждом $i=1,\dots,n$ и $j=1,\dots,n$
даны функции $a^{ij}\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, $b^{i}\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, $c\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, принадлежащие классу $C^\infty_b(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$
всех ограниченных вещественных функций на $\mathbb{R}^n$, имеющих ограниченные производные всех порядков. Определим дифференциальный оператор $L$ равенством

$$(Lu)(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na^{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x) + \sum_{i=1}^nb^i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}u(x)+c(x)u(x).$$

Пусть существует такая константа $\varkappa>0$, что при всех $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\in\mathbb{R}^n$ и всех $x\in\mathbb{R}^n$
выполняется условие эллиптичности: $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na^{ij}(x)\xi_i\xi_j\geq\varkappa\|\xi\|^2.$ Пусть также $c(x)\leq 0$ при всех $x\in\mathbb{R}^n$.

Пусть фиксирована произвольная константа $\lambda>0$.

Пусть функция $\psi\in C^\infty_b(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ фиксирована, и $f$ --- решение (оно существует и единственно в классе $C^\infty_b(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$) уравнения

$$Lf-\lambda f=\psi.$$

ВОПРОС: Какие существуют оценки на равномерные нормы производных функции $f$, т.е. на $\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|\nabla f(x)|$ и $\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\left|\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} f(x)\right|?$ Оценивать можно через $\lambda$ и любые производные функции $\psi.$

Я знаю, например, что $\|Lf-\lambda f\|\geq \|f\|$, поэтому в силу уравнения $\|f\|\leq \|\psi\|$. Хочется каким-то образом оценить первую и вторую производную функции $f$. Идеально будет, если сразу будете писать книгу, в которой доказана соответствующая оценка.

Ещё раз: нужна оценка такого типа: supremum modulia proizvodnoj reshenija ne prevoshodit kakoj-to funkcii ot supremuma modulia koefficientov reshenija i supremuma modulia pravoj chasti ili luboj proizvodnoj pravoj chasti.

Книги Крылова и Гилбарга, Трудингера смотрел, но там оценки в пространствах Гельдера, а мне нужны оценки на производные целого порядка.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин из-за неправильного использования тега [mаth].

PAV в Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться писал(а):

Итак, вот список наиболее типичных причин, по которым тема может оказаться в карантине.
...
3. Неиспользование или неправильное использование средств записи формул
...
Вот несколько примеров неправильного использования. За любой из них ваша тема может оказаться в карантине.

Пример неправильного использования: весь текст заключен в тег math. Тегом должны быть охвачены только формулы. Обратите внимание на отличие этого шрифта от шрифта остального текста....

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Gonobobel]

ВОПРОС: Какие существуют оценки на равномерные нормы производных функции $f$, т.е. на $\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|\nabla f(x)|$ и $\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\left|\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} f(x)\right|?$ Оценивать можно через $\lambda$ и любые производные функции $\psi.$ Также в оценку можно ввести супремумы модулей коэффициентов оператора L, но не их производные.

[Vince Diesel]

По-видимому, никакие. Если бы такая оценка была, то приближая негладкие коэффициенты гладкими по какой-нибудь норме, возможно (?) было бы получить утверждение и для негладких коэффициентов. А для уравнений недивергентного вида $a_{ij}(x)u_{ij}(x)=0$ есть результат, что решение (локально) будет удовлетворять условию Гельдера с некоторым показателем $\alpha_0\in(0,1)$, зависящим только от константы эллиптичности $\varkappa$ и максимума модулей коэффициентов $a_{ij}$. Поскольку в негладком случае лучшей оценки незвестно, то и для гладкого случая она вряд ли найдется. Вполне возможно, что она и неверна. Исключение - одномерный и двухмерный случаи. Локальные оценки для первых производных при $n=2$ есть в Гилбарге-Трудингере.

[Gonobobel]

Vince Diesel в сообщении #604460 писал(а):

По-видимому, никакие.

Печально.