Вопрос про кватернионы

[Sychuan]

Посмотрел в математической энциклопедии и в вики, но не нашел. Комплексное число можно записать в сферических координатах, через модуль и угол, можно ли таким же способом записать кватернион?

[ИСН]

В сферических координатах модуль и два угла. Вы имели в виду кое-что другое. Что?

[amaora]

Если не считать той особенности, что два кватерниона соответсвуют одному повороту (элементу SO(3)), то можно использовать все, чем можно представить поворот, углы Эйлера, направляющие косинусы и т.д..

[Sychuan]

ИСН в сообщении #603786 писал(а):

В сферических координатах модуль и два угла. Вы имели в виду кое-что другое. Что?

Вообщем это я и имел в виду. Хотя мне казалось что угла должно быть 3.
например у меня есть кватернион $q = 5+3i+4j+8k$ тогда как мне записать его в сферических координатах? Ну модуль я думаю вычислю сам, а как найти углы?

[Munin]

Комплексное число представляется как точка на плоскости, тогда её можно интерпретировать геометрически, и искать расстояние (модуль) и угол.

Для кватернионов получается интерпретация как точки в 4-мерном пространстве. Это отличается от типичных интерпретаций кватернионов в виде "скалярной и векторной части". В 4-мерном пространстве, например, можно задать направление 4-мя направляющими косинусами, которые будут равны $\cos\varphi_i=x_i/r,$ где $r^2=\sum x_i^2.$

[lek]

Sychuan в сообщении #603811 писал(а):

Вообщем это я и имел в виду. Хотя мне казалось что угла должно быть 3.

(Независимых ) углов будет конечно три. Один из способов представления кватернионов предложил Munin. Другой:
$q=|q|e^{i\vec{n}\alpha}=|q|(\cos\alpha+i\vec{n}\sin\alpha),$ где $\vec{n}$ - единичный вектор в трехмерном пространстве (еще два угла, в сферических координатах).

[Munin]

Можно ввести "4-мерные сферические координаты" http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#S ... oordinates , по принципу (выбран произвольный вариант из соглашений, существующих в разных вариантах):

$$\left\{\begin{array}{l} x_1=r\cos\theta\cos\psi\cos\varphi\\ x_2=r\cos\theta\cos\psi\sin\varphi\\ x_3=r\cos\theta\sin\psi\\ x_4=r\sin\theta, \end{array}\right.$$

соответственно, в обратную сторону будет:

$$\left\{\begin{array}{l} r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}\\ \theta=\arcsin(x_4/r)\\ \bigl[\,r_{1-3}=r\cos\theta=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\,\,\bigr]\\ \psi=\arcsin(x_3/r_{1-3})\\ \varphi=\arctg(x_2/x_1). \end{array}\right.$$