главный идеал

[Профессор Снэйп]

Что-то я засомневался, что там гомоморфизм. Завтра подумаю, сегодня спать пора

[AV_77]

Если $ba = z_ba$ и $ca = z_ca$, то $(b+c)a = ba+ca = z_ba + z_ca = (z_b + z_c)a$, откуда $z_{b+c} = z_b + z_c$, и $(bc)a = b(ca) = b(z_ca) = z_b z_ca$, откуда $z_{bc} = z_b z_c$.
Разве что кольцо не ассоциативное.

Пусть $b \in R$ такой, что $z_b$ - наименьшее положительное число и $c \in R$. Пусть $z_c = q z_b + r$, $0 \leq r < z_b$. Тогда $c - q b \mapsto z_c - q z_b = r < z_b$. Следовательно, $z_b \mid z_c$ для любого $c \in R$.

[Профессор Снэйп]

AV_77 в сообщении #603599 писал(а):

Если $ba = z_ba$ и $ca = z_ca$, то $(b+c)a = ba+ca = z_ba + z_ca = (z_b + z_c)a$, откуда $z_{b+c} = z_b + z_c$, и $(bc)a = b(ca) = b(z_ca) = z_b z_ca$, откуда $z_{bc} = z_b z_c$.
Разве что кольцо не ассоциативное.

Пусть $b \in R$ такой, что $z_b$ - наименьшее положительное число и $c \in R$. Пусть $z_c = q z_b + r$, $0 \leq r < z_b$. Тогда $c - q b \mapsto z_c - q z_b = r < z_b$. Следовательно, $z_b \mid z_c$ для любого $c \in R$.

Вы используете тот факт, что кольцо $R$ ассоциативно. В условии этого нет.

Но для ассоциативных колец, да, гомоморфизм получается.

[Xaositect]

Пусть $R$ --- кольцо с единицей.

Рассмотрим подкольцо $A$, порожденное элементом $a$. Так как $a^2 = k a$, это подкольцо как аддитивная группа порождается $1$ и $a$. Порядок $1$ должен делиться на порядок $a$, то есть получается, что это кольцо изоморфно $\mathbb{Z}[x]/\left<n, mx, x^2-kx\right>$, $m|n$

Если какой-то элемент $b$ не принадлежит $A$, то $ba = z_ba$ и $b = b' + z_b$, где $b'a = 0$. В итоге получаем, что наше кольцо порождено элементом $a$ и множеством элементов $b'_i$, таких, что $ma = 0, a^2 = ka, b'_ia = 0$. Соотношения между $b'_i$ произвольные.