Теория меры - вопрос по книжке Вулиха

[finanzmaster]

Книга Вулиха "Краткий курс ТФДП - введение в теорию интеграла", хорошая книжка, я по ней изучаю тему. Но сегодня часа два, наверное, просидел, так себя толком и не убедил, почему [это место на приложенном скане отмечено красным] можно взять и перейти от конечного случая к пределу, и кроме того - почему этот предел обязан существовать?

Если кто знает, прошу подсказать. (Someone - особая надежда, прежде всего, на Вас )

[Capella]

finanzmaster писал(а):

Книга Вулиха "Краткий курс ТФДП - введение в теорию интеграла", хорошая книжка, я по ней изучаю тему. Но сегодня часа два, наверное, просидел, так себя толком и не убедил, почему [это место на приложенном скане отмечено красным] можно взять и перейти от конечного случая к пределу, и кроме того - почему этот предел обязан существовать?

Если кто знает, прошу подсказать. (Someone - особая надежда, прежде всего, на Вас )

[img]
http://hurdleracer.pisem.net/vul1.jpg

[/img]
http://hurdleracer.pisem.net/vul2.jpg

Вы посмотрите несколькими строчками раньше, как у Вас определены A и B. Вы сравните просто оба объединения, в чём их отличие? У вас B конечное объединение, а самим пределом в данном случае будет A.
Предел обязан существовать, т.к. он существует по определению.
(хотя лучше чтобы посмотрел, кто поопытнее )

[finanzmaster]

ψυ& писал(а):

Вы посмотрите несколькими строчками раньше, как у Вас определены A и B. Вы сравните просто оба объединения, в чём их отличие? У вас B конечное объединение, а самим пределом в данном случае будет A.
Предел обязан существовать, т.к. он существует по определению.
(хотя лучше чтобы посмотрел, кто поопытнее )

Так A - это множество (!), а я спрашиваю о пределе ряда (бесконечной суммы) внешних мер. А внешняя(!) мера не обязана быть сигма-аддитивной, и даже конечно-аддитивной,
так что то, что A представлено как счетное объединение дизъюнктных множеств нам ничем помочь не может.

[Capella]

Интерессная идея , смею предположить, что поскольку Ваши множества дисъюнктны, то их объединение можно записать как сумму, остальное домыслите сами.
Я поняла, в чём Ваша проблема: Вы не понимаете связь между множеством и Вашей мерой, но это-же определено на стр 92, внизу

[finanzmaster]

ψυ& писал(а):

Интерессная идея , смею предположить, что поскольку Ваши множества дисъюнктны, то их объединение можно записать как сумму, остальное домыслите сами.
Я поняла, в чём Ваша проблема: Вы не понимаете связь между множеством и Вашей мерой, но это-же определено на стр 92, внизу

Нет, ψυ&, это Вы не понимаете отличия меры$\mu$ от внешней_меры $\mu$*.

Внешняя мера задана на совокупности ВСЕХ подмножеств некого (абстрактного) мн-ва X
На стр. 92 речь идет только о том, как мы будем сужать внешнюю меру на класс измеримых множеств. А далее (в чем у меня и затык), показывается, что этот класс - суть $\sigma$-алгебра.

Сначала мы показываем, что этот класс - просто алгебра множеств, и тут все понятно. А вот дальше, как-то так резко переходится от конечного случая (доказанного по индукции) к бесконечному. И вот именно поэтому пункту я просил пояснений (у тех, кто их может дать)

[dm]

finanzmaster
Давайте еще раз, в чем заключается вопрос. Вам не понятно, как перешли от неравенства

$$\mu^*E\ge\sum_{k=1}^p\mu^*(E\cap A_k)+\mu^*(E\cap A')$$

к неравенству

$$\mu^*E\ge\sum_{k=1}^{\infty}\mu^*(E\cap A_k)+\mu^*(E\cap A')$$

?

Первое неравенство выполнено для произвольного $p$. Левая часть конечна и не зависит от $p$. Значит неравенство выполнено и для суммы ряда. Сумма ряда есть, поскольку все члены неотрицательны и частичные суммы мажорируются левой частью.

[old_programmer]

Предел в формуле существует, так как частичные суммы бесконечного ряда в данном случае образуют ограниченную сверху монотонно возрастающую последовательность.

[finanzmaster]

dm писал(а):

finanzmaster
Давайте еще раз, в чем заключается вопрос. Вам не понятно, как перешли от неравенства

$$\mu^*E\ge\sum_{k=1}^p\mu^*(E\cap A_k)+\mu^*(E\cap A')$$

к неравенству

$$\mu^*E\ge\sum_{k=1}^{\infty}\mu^*(E\cap A_k)+\mu^*(E\cap A')$$

?

Первое неравенство выполнено для произвольного $p$. Левая часть конечна и не зависит от $p$. Значит неравенство выполнено и для суммы ряда. Сумма ряда есть, поскольку все члены неотрицательны и частичные суммы мажорируются левой частью.

dm! Большое спасибо!
Да именно это мне и было непонятно.

[dm]

finanzmaster
Если $a_p\ge b_p$ для всех $p\ge1$, и существуют $\lim_{p\to\infty}a_p=:a$ и $\lim_{p\to\infty}b_p=:b$, то $a\ge b$. В вашем случае один лимит существует, поскольку последовательность не зависит от $p$. А почему существует другой лимит, объяснил old_programmer (по теореме о монотонной ограниченной последовательности).

Добавлено:
Ага, по-видимому, уже разобрались.

[finanzmaster]

Добавлено:
Ага, по-видимому, уже разобрались.[/quote]

Да, спасибо!!
Открыл Хинчина и разобрался.

С наступающим Вас!