Помогите решить матричное уравнение...

[Glk63]

Уважаемые математики, в процессе работы возникла необходимость решить следующую задачку. Дано: матрица А (n x m, n>m) - известная; матрица C, такой же размерности - неизвестная. Необходимо решить уравнение:

$A^T C + C^T A + C^T C = \alpha E$

где $\alpha $ - скаляр; $E$ - единичная матрица, размерности m x m. Требуется, чтобы при решении или не использовались итерационные методы (типа Ньютона, релаксации и т.п.), или их сходимость была бы 100%. Понятно, что однозначно можно определить только m*m элементов матрицы C.

Заранее благодарен...

[незваный гость]

Может, это несколько упростит задачу: искать $X^T X = A^T A + \alpha E$, $C = X - A$.

Правильно ли я понимаю, что $n \geqslant m$?

[Glk63]

Спасибо, идея мне понятна. Правда, как бы потом еще из $X^T X$
вычленить саму Х (точнее любую, удовлетворяющую уравнению)? Число строк действительно больше числа столбцов.

[незваный гость]

У Вас слева всегда положительно определенная симметричная матрица, справа симметричная, но вот положительно ли определенная? — это зависит от $\alpha$. При достаточно большом отрицательном $\alpha$ вещественного решения просто не существует.

Пусть все хорошо. Более того, пусть все собственные числа $A^T A$ различны (я не уверен, что это нужно). Тогда существует ортогональная $\Phi$, приводящая $A^T A$ к диагональному виду: $\Phi^T A^T A \, \Phi = \Lambda$. Тогда легко извлечь корень из $\Lambda + \alpha E$, и $X = \Phi \sqrt{\Lambda + \alpha E} \, \Phi^T$ должно быть одним из решений. (Хвост матрицы можно всегда добить нулями...)

P.S. Фактически, нам подходит любой алгорифм извлечения симметричного квадратного корня. Указанный метод лишь доказывает существование оного.

[Glk63]

Суммарная матрица справа - всегда положительно определенная. А Вы не могли бы намекнуть, как найти Ф (хотя бы подсказать направление поисков)? Или вычисление Ф - составная часть алгоритмов извлечения корня? Т.е. нам фактически нужно просто извлечь корень из правой части?
Огромное Вам спасибо за помощь!

[незваный гость]

Например, система собственных векторов образует нужную нам матрицу (после нормирования). Так что, литературы довольно много. (Можно искать преобразование матрицы к диагональному виду, Жорданову нормальную форму, Jordan.) Я надеюсь, что меня кто-нибудь поправит, но, по-моему, правая часть является нормальной матрицей, и, соответственно, всегда диагонализируема согласно спектральной теореме. Обратите внимание на симметричность Вашей матрицы: для таких есть специализированные алгорифмы.

[Glk63]

Направление понятно. Пошел искать