главный идеал

[tavrik]

если идеал является циклической подгруппой соответствующего кольца - это еще не делает его главным идеалом?
такой вопрос возник.
по моему нет. как обосновать не знаю.

[Yakov]

Если кольцо с 1, то верно.
Просто этот идеал как абелева группа порождается
одним элементом, есть канонический гомоморфизм $\mathhbb{Z}$
в это кольцо, поэтому и как идеал он порождается одним элементом.
Для колец без единицы это, безусловно, неверно.

[AV_77]

Это всегда верно. Если идеал $J$ порождается одним элементом как подгруппа аддитивной группы кольца, то он порождается этим элементом и как идеал.

[Yakov]

Да, Вы правы.
Идеал, порождённый элементом $a$ - это не только $\{ra| r \in K\}$,
но и все линейные комбинации (т.е. пересечение всех идеалов, содержащих
элемент $a$). Однако на практике кольца без 1 встречаются очень редко.

[Профессор Снэйп]

Тут, кстати, интересен такой вопрос: что можно сказать о кольце, если один из его ненулевых главных идеалов является циклической абелевой группой?

Ясно, что не любое кольцо обладает этим свойством. Например, никакое поле характеристики $0$ таким свойством не обладает. А вот как теперь охарактеризовать класс колец, обладающих указанным свойством?

-- Пн авг 06, 2012 22:05:38 --

Можно попробовать начать. Пусть $R$ - кольцо, $I$ - главный идеал в $R$, такой что $I = \{ za : z \in \mathbb{Z} \}$ для некоторого ненулевого $a$. Имеем $a^2 = z_a a$ для некоторого $z_a \in \mathbb{Z}$. Какие значения может принимать число $z_a$?

-- Пн авг 06, 2012 22:44:07 --

Если кольцо $R$ содержит единицу и не содержит делителей нуля, то из $ra = za$ получаем, что $r = z$ и $R \cong \mathbb{Z}$. Но это неинтересные кольца

[Профессор Снэйп]

Вот такой вопрос: если $R$ обладает нашим свойством, то всегда ли от него можно отщепить циклическое прямое слагаемое?

Более точно. Пусть $R$ содержит ненулевой главный идеал, являющийся циклической аддитивной подгруппой. Верно ли, что $R \cong R_1 \times R_2$, где $R_1$ равно либо $\mathbb{Z}$, либо $\mathbb{Z}_n$.

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #603565 писал(а):

Вот такой вопрос: если $R$ обладает нашим свойством, то всегда ли от него можно отщепить циклическое прямое слагаемое?

Более точно. Пусть $R$ содержит ненулевой главный идеал, являющийся циклической аддитивной подгруппой. Верно ли, что $R \cong R_1 \times R_2$, где $R_1$ равно либо $\mathbb{Z}$, либо $\mathbb{Z}_n$.

Нет, контрпример - $\mathbb{Z}[\varepsilon]/\left<\varepsilon^2\right>$, идеал - $\left<\varepsilon\right>$

[Профессор Снэйп]

Ага, вот ещё. Зафиксируем $R$, $a$ и $z_a$ такие же, как выше. Пусть $a = zb$ для некоторого $z \in \mathbb{Z}$. Имеем $ba = z_0a$. Тогда $z_a a = a^2 = z b a = zz_0 a$.

Теперь если $I$ бесконечен, то $z_a$ делится на $z$. Отсюда следует, что у $a$ конечное число натуральных делителей...

-- Пн авг 06, 2012 23:47:43 --

Xaositect в сообщении #603570 писал(а):

Нет, контрпример - $\mathbb{Z}[\varepsilon]/\left<\varepsilon^2\right>$, идеал - $\left<\varepsilon\right>$

А что такое $\mathbb{Z}[\varepsilon]$? Кольцо многочленов от $\varepsilon$ с целыми коэффициентами или что-то другое?

[Xaositect]

Да, оно самое.
Ну в общем это "целые дуальные числа", $a + b\varepsilon$ при $a,b\in \mathbb{Z}$, правило умножения $\varepsilon^2 = 0$

[Профессор Снэйп]

Xaositect в сообщении #603574 писал(а):

Да, оно самое.
Ну в общем это "целые дуальные числа", $a + b\varepsilon$ при $a,b\in \mathbb{Z}$, правило умножения $\varepsilon^2 = 0$

Да, я понял. А почему от этого кольца нельзя отщепить циклическое прямое слагаемое?

[AV_77]

Если $I \simeq \mathbb{Z}_n$, то отображение $b \mapsto r_b$ будет гомоморфизмом $R \to \mathbb{Z}_n$.

[Профессор Снэйп]

AV_77 в сообщении #603581 писал(а):

Если $I \simeq \mathbb{Z}_n$, то отображение $b \mapsto r_b$ будет гомоморфизмом $R \to \mathbb{Z}_n$.

А что такое $r_b$? Первый раз в теме такое обозначение встречается, и без всякого объяснения.

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #603579 писал(а):

Xaositect в сообщении #603574 писал(а):

Да, оно самое.
Ну в общем это "целые дуальные числа", $a + b\varepsilon$ при $a,b\in \mathbb{Z}$, правило умножения $\varepsilon^2 = 0$

Да, я понял. А почему от этого кольца нельзя отщепить циклическое прямое слагаемое?

Нет линейно независимых делителей нуля, а в прямом произведении $(a, 0)$ и $(0,b)$ являются таковыми.

[Профессор Снэйп]

Попробую догадаться. $r_b$ вводится равенством $ab = r_ba$.

Ну да, гомоморфизм. И не только при $I \cong \mathbb{Z}_n$, но и при $I \cong \mathbb{Z}$.

-- Вт авг 07, 2012 00:04:22 --

Xaositect в сообщении #603586 писал(а):

Нет линейно независимых делителей нуля, а в прямом произведении $(a, 0)$ и $(0,b)$ являются таковыми.

Да, действительно. Спасибо.

[AV_77]

Профессор Снэйп в сообщении #603585 писал(а):

А что такое $r_b$? Первый раз в теме такое обозначение встречается, и без всякого объяснения.

Там $z_b$, конечно, в ваших обозначениях.