Скользящий маятник

[dovlato]

Невесомая нить одним концом прикреплена к наклонной плоскости, на другом её конце - точечный грузик, свободно лежащий на плоскости.
Период малых колебаний такого "наклонного маятника" равен $T_1$.
Дальше с помощи той же нити и грузика делается обычный мат. маятник, основание которого скользит по этой плоскости.
Период его малых колебаний скользящего маятника оказался равным $T_2$.
Трение в обоих случаях отсутствует.
Найти период колебаний неподвижного маятника. Найти угол наклона плоскости, если $g$ известна.

[miflin]

Навскидку.

$\displaystyle T_1=2\pi\sqrt{\frac{l}{g\sin\alpha}}$

$\displaystyle T_2=2\pi\sqrt{\frac{l}{g\cos\alpha}}$

Ну, а дальше дело техники.

?

[dovlato]

Ну да. Я предпочёл это записать так:

$$\omega^4=\omega_1^4+\omega_2^4$$

.

$$ \tg \alpha =\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2}$$

Импровизация. По-моему, школьникам-физматикам подойдёт.

[miflin]

(Оффтоп)

Когда писал выражение для $T_2$, понял,
что вот здесь я лажанул и не покаялся.
Но поскольку это дела давно минувших дней,
пусть остается на моей совести. :-)

[dovlato]

Я не понял: там с траекторией что-то не так? Я составил дифф. ур., и похоже, что действительно там возникают гиперболические косинусы-синусы.

[miflin]

dovlato в сообщении #603178 писал(а):

Я не понял: там с траекторией что-то не так? Я составил дифф. ур., и похоже, что действительно там возникают гиперболические косинусы-синусы.

Синусы там исключены, т.к. имеется симметрия.
Изначально речь шла о статическом варианте.
Мне просто хотелось сравнить свой подход с чьим-то.
gris решил для прямолинейного тоннеля
точно так же, как решал и я.
Потом он предложил динамический вариант, который я на сон грядущий
неверно проанализировал и не покаялся. :-)
Если подходить формально, то при свободном скольжении тоннель должен
восприниматься как горизонтальный. Однако мне это трудно представить,
в то время как статический вариант представляется вполне ясно,
как если бы я сам побывал в этом тоннеле.
Лучше всего, думаю, под ковер. :-)

[dovlato]

Со статическим тоже с оговорками. Если я правильно понял условие задачи, в ней по умолчанию считается, что измеряется только угол между местным $\vec g$ и полом туннеля. А изменение модуля $g$ во внимание не берётся. Вот тогда и получился гип-косинус.
А если трения нет, то там скучной возни с ДУ не требуется, но зато по-настоящему интересно физически. Пассажир, естественно, чувствует только нормальную составляющую $\vec g$, причём на протяжении всего пути она остаётся постоянно равной $g_1=gh/R$, где $h$ - расстояние туннеля от центра Земли. То есть с закрытыми глазами он просто не почувствовал бы, что происходит какое-то движение!

[miflin]

dovlato в сообщении #603286 писал(а):

А изменение модуля $g$ во внимание не берётся.

А какое это имеет значение? Важен факт направления силы.

[dovlato]

Я просто решил проверить правильность понимания условия.
И вот здесь мне показалось интересно. Значит, в статическом варианте (т.е. с $V=\operatorname {const}$) чисто гравитационные измерения, в их полном объёме, видимо, позволяют правильно восстановить траекторию, без априорной информации.
Тогда как в туннеле без трения - нет. То-есть они позволяют лишь установить, на каком расстоянии туннель проходит от центра. И то - с подсказкой, что туннель - прямой, а планета - Земля).

[miflin]

miflin в сообщении #603263 писал(а):

Если подходить формально, то при свободном скольжении тоннель должен
восприниматься как горизонтальный. Однако мне это трудно представить,

Собственно, что не могу представить? Подхожу на роликах к началу тоннеля,
явно уходящего вниз. Начинаю катиться. Тело располагаю по вертикали
$\vec{g}-\vec{a}$ (иначе либо шлёпнусь на попу, либо запахаю носом),
которая перпендикулярна оси тоннеля - ergo, он горизонтален.
Непонятно, как воспринимается момент перехода от явного уклона к горизонтали
(всем бы эти проблемы! ). А вообще здорово катиться с ускорением
по горизонтали!

dovlato в сообщении #603293 писал(а):

Значит, в статическом варианте (т.е. с $V=const$) чисто гравитационные измерения, в их полном объёме, видимо, позволяют правильно восстановить траекторию, без априорной информации.

Полагаю, что нет, если визуальный фактор ограничивет восприятие пространства
в пределах, в которых поле воспринимается как однородное, а дуга и прямая
неразличимы. Собственно, это условие я предполагаю по умолчанию,
почему и развернул действо в тоннеле.

[dovlato]

miflin, я имею в виду измерение не только углов, но и модуля локального ускорения свободного падения. Думаю, это можно доказать вполне корректно.

[Munin]

miflin в сообщении #603492 писал(а):

Подхожу на роликах к началу тоннеля, явно уходящего вниз. Начинаю катиться. Тело располагаю по вертикали $\vec{g}-\vec{a}$ (иначе либо шлёпнусь на попу, либо запахаю носом), которая перпендикулярна оси тоннеля - ergo, он горизонтален.

Житейская интуиция вас обманывает. У роликов очень существенный коэффициент трения, поэтому если вы наклонитесь сильно вперёд - да, запахаете носом. Но и совсем вертикально вы стоять не сможете - потому что шлёпнетесь назад. Чем меньше коэффициент трения, тем больше вам придётся отклониться вперёд, чтобы ноги из-под вас не уехали. В идеально гладком случае (который похож на ледяную горку) вы должны будете отклониться вперёд как раз совсем перпендикулярно полу тоннеля.

Ещё, при обычном съезжании с горки, вы заранее готовитесь к тому, как будете тормозить, и это ещё добавляет вам наклона назад. Тут больше пригодилась бы интуиция горнолыжников, которые знают, что корпус должен всё-таки быть впереди ступней (хотя и не на нормали от них - ну так лыжи тоже не идеально скользят), и что в середине спуска к торможению можно ещё не готовиться.

[miflin]

Да, но для этого нужно иметь дополнительные сведения о
конфигурации окружающей массы и знать закон всемирного тяготения.
Если запустить туда человека эпохи плоской Земли, то, полагаю,
он не определит, что тоннель прямой.

-- 06.08.2012, 15:50 --

Munin в сообщении #603497 писал(а):

У роликов очень существенный коэффициент трения,

Дык рассматриваем идеальный случай. Не хватало ещё мысленное
путешествие в тоннеле (которого никогда не будет) обременять
безобразными фактами! Не наступайте на горло песне! Дайте помечтать! :)))))))

[Munin]

miflin
Как вам такой эксперимент: не будем заставлять человека держать равновесие, а предложим ему ящик комфортную комнату, в которой он сможет сидеть. С креслами с регулируемым наклоном. С окнами, чтобы не чувствовать себя запертым. С лампой и предметами досуга, чтобы не скучать. Ящик будет скользить по полу тоннеля. Как вы считаете, в каком положении в кресле будет сидеть такой человек эпохи плоской Земли, и какое положение будет занимать вода в стакане на столике?

[miflin]

Munin в сообщении #603500 писал(а):

Как вы считаете, в каком положении в кресле будет сидеть такой человек эпохи плоской Земли, и какое положение будет занимать вода в стакане на столике?

Ну, скажем, вагон, хотел сказать, обычный, но необычный - без трения.
Поверхность воды будет параллельна полу.