определение числа k-мерных граней, исходя из Шлефли

[Lyssa]

Как известно, в n-мерном евклидовом пространстве для каждого допустимого символа Шлефли существует единственный правильный многогранник (с точностью до подобия). Помимо этого, можно описать абстрактный многогранник, не существующий в евклидовом пространстве, например такой: http://en.wikipedia.org/wiki/57-cell

Как можно, исходя только из символа, посчитать число вершин, ребер, плоских граней, трехмерный граней и т.д.? А также порядок группы симметрий. У меня не получается вывести общую формулу.

[INGELRII]

Даже в четырехмерном случае это довольно непросто. Я как-то давно проделал это. Чтобы найти число трехмерных граней, нужно разбить одну такую грань на пирамидки с вершинами в центре самой грани, в центре ее двумерной грани, в середине ребра этой грани и в вершине рядом с этой серединой ребра. Далее проецируем полученную пирамидку на единичную сферу в $\mathbb{R}^4$ и при помощи матанализа и формул сферической геометрии находим объем описанного выше тела. У вас получится жуткий определенный интеграл. Я практически не помню, как там и что, запомнить эту штуку нереально, тетрадь с формулами сейчас в другом городе, а выводить их заново как-то не хочется Помню, что подинтегральная функция имеет вид $f(t) \arctg(f(t))$, где $f(t)$ - что-то вроде $\frac{\sin t}{\sqrt{1-k (\cos t)^2}}$ И все коэффициенты в формуле и пределы интегрирования зависят от чисел в символах Шлефли, причем тоже жутким образом, типа $\arcsin \frac{\sin a}{\cos b}$. Это все, что помню. Интеграл этот, естественно, не берется...

После того, как вы нашли объем одной пирамидки, при помощи комбинаторики считаете сколько таких пирамидок содержится в одной трехмерной грани, и получаете ее объем. Затем делите объем четырехмерного шара на олбъем грани и получаете, соответственно, количество этих граней! Количество двумерных граней, ребер и вершин находите при помощи той же комбинаторики.

Задача эта скорее не трудная, а муторная, нужно строго следить за всеми этими арксинусами, постоянно применять формулы сферической тригонометрии и т.д. Можно аналогичным образом решить задачу для более высоких размерностей... Но поскольку в 4D получается неберущийся интеграл, то там получатся кратные неберущиеся интегралы со страшными пределами, вот и все. Я советую выше четырехмерия не залезать, если вы все-таки хотите этим заняться.

-- 25.07.2012, 12:20 --

А, и еще вдогонку: полученную формулу я проверил на всех шести правильных четырехмерных многогранниках, и ответ сошелся где-то до двадцатого знака (на Мапле). Ну то есть похоже на то, что формула правдивая. Несколько раз на этом форуме всплывали как раз те интегралы, люди спрашивали, как их вычислить. В каких именно темах, опять же не помню.

[INGELRII]

Вот, приехал домой, раскопал бумажки с выкладками. Может, кому будет интересно посмотреть... короче, не могу удержаться, чтобы не похвастаться. В четырехмерном случае для многогранника с символом Шлефли $\{n,m,k\}$ объем пирамидки, о которой я говорил в предыдущем сообщении, равен:

$I=\int_0^{\arccos \frac{\cos A_1}{\sin A_6}} \frac{\sin A_6 \sin t}{\sqrt{1-\sin^2 A_6 \cos^2 t}} \arctg \frac{\sin A_2 \sin A_6 \sin t}{\cos A_2 \sqrt{1-\sin^2 A_6 \cos^2 t}} dt$

где:

$A_1=\frac{\pi}{n}, A_2=\frac{\pi}{k}, A_6=\arccos \frac{\cos \frac{\pi}{m}}{\sin \frac{\pi}{k}}$

В одной грани таких пирамидок, как легко посчитать, содержится $N=\frac{4mn}{2m+2n-mn}$. Соответственно, объем одной грани равен $N \times I$. Точнее, это объем проекции данной грани на 4-сферу. Поскольку полный объем 4-мерного шара равен $V=\frac{\pi^2}{2}$, то теперь легко найти, сколько собственно этих граней там содержится: $\frac{V}{NI}$.

Количества 2-мерных граней, ребер и вершин получаются из этой цифры при помощи комбинаторики.

Вывод данной формулы не пишу по понятным причинам. Не встречал статей, где бы она выводилась, но уверен, что это было сделано еще до меня. Поскольку частные случаи этого интеграла время от времени где-то всплывают. И я не верю, что он может появиться в задаче, не связанной с правильными 4-мерными многогранниками.

Для пространств высших измерений не имеет смысла возиться с формулой еще по такой причине: в них правильных многогранников существует всего-то три.

[Munin]

Можно вместо интегралов просто рисовать граф, какие грани с какими соединены. Долго, уязвимо к ошибкам, зато просто.

[INGELRII]

Munin
О да. Я их, собственно, лепил из пластилина, в трехмерном пространстве. Так оно попроще, чем на бумаге. Делал я это где-то в десятом классе школы, еще когда об интернетах не мог и мечтать.

Но ТС требовал(а) формулу, ее и получил. А также указание, как ее выводить самому, и в пространствах высших размерностей тоже. Что уж ТС будет делать с этой информацией, это меня не касаемо.

Кстати,

Lyssa в сообщении #598581 писал(а):

Помимо этого, можно описать абстрактный многогранник, не существующий в евклидовом пространстве, например такой:

эту штуку, думаю, возможно вложить в 7-мерное пространство. Во всяком случае, штуку, именуемую по ссылке hemi-dodecahedral можно построить в 5-мерном. Правда, вершины, принадлежащие одной двумерной грани, в одной плоскости лежать не будут. Но если на это обстоятельство махнуть рукой, то все остальное будет выполнено. Для любых двух вершин есть поворот в пространстве, переводящий одну в другую (и переводящий всю конструкцию саму в себя при этом), ну и прочее в том же духе...