Обобщенное прямое произведение

[AlexeyM]

Помогите, пожалуйста, разобраться с понятием обобщенного прямого произведения. Вот определение из Куратовского, «Топология», том 1:


Я беру множества $T=\{1,2\}$ и $ X=\{a,b,c\}$. Беру какую-нибудь функцию $F$: например, пусть $F(1)=\{a\}, F(2)=\{b\}$. Тогда в обобщенное прямое произведение могут входить лишь те функции z, для которых $z(1)\in F(1) \wedge z(2)\in F(2)$, т.е. $z(1)\in\{a\} \wedge z(2)\in\{b\}$. По сути, подходит только функция $z(1)=a, z(2)=b$, т.е. обобщенное прямое произведение получается таким: $\{(1,a),(2,b)\}. Не могу понять, верны эти рассуждения или нет?

Просто дальше автор пишет, что указанное определение в случае конечного множества T совпадает с обычным, т.е. вот таким:


Я рассмотрел как раз конечное множество Т, но результат явно не тот, что должен быть по стандартному определению. Никак не могу найти ошибку...

[Someone]

AlexeyM в сообщении #602090 писал(а):

Я рассмотрел как раз конечное множество Т, но результат явно не тот, что должен быть по стандартному определению.

У Вас ведь $X=F(1)=\{a\}$ и $Y=F(2)=\{b\}$, так что всё правильно.

[Профессор Снэйп]

А почему оно "обобщённое"? Обычное декартово произведение, по-моему.

AlexeyM в сообщении #602090 писал(а):

Не могу понять, верны эти рассуждения или нет?

Ну да, верны. С точностью до биекции, конечно. Имеется в виду биекция, отождествляющая $(u,v)$ и $\{ (1,u), (2, v) \}$.

[AlexeyM]

Someone, спасибо за ответ.
Но я не совсем могу понять один момент Если принять $X=F(1)=\{a\}$ и $Y=F(2)=\{b\}$, то по стандартному правилу выйдет $X\times Y=\{(a,b)\}$. У меня вышло $\{(1,a),(2,b)\}, т.е. другое множество. Если речь в определении идет про множество всех функций $z \in X^{T}$, то, получается, в ответе должно выйти множество с элементами в виде упорядоченных пар, где первый элемент в каждой паре принадлежит множеству Т, второй - множеству Х. У меня получается как-то так...

-- Чт авг 02, 2012 08:38:38 --

Профессор Снэйп в сообщении #602154 писал(а):

С точностью до биекции, конечно. Имеется в виду биекция, отождествляющая $(u,v)$ и $\{ (1,u), (2, v) \}$.

Но ведь в определении не упоминается подобная биекция. Или это принимается по умолчанию?

[Профессор Снэйп]

AlexeyM в сообщении #602156 писал(а):

Или это принимается по умолчанию?

Да, по умолчанию.

[AlexeyM]

Профессор Снэйп в сообщении #602160 писал(а):

Да, по умолчанию.

Что-то у меня всё равно не выходит
Если, к примеру, взять другую функцию F на тех же множествах $T=\{1,2\}$ и $ X=\{a,b,c\}$. Пусть $F(1)=\{a,b\}, F(2)=\{c\}$. Тогда в обобщенное прямое произведение могут входить лишь те функции z, для которых $z(1)\in\{a,b\} \wedge z(2)\in\{c\}$. По сути, подходят две функции: $\{(1,a),(2,c)\}$ и $\{(1,b),(2,c)\}$. При объединении выйдет множество $\{(1,a),(1,b),(2,c)\}$. Как в этом случае применять биективное соответствие?

[Someone]

А где Вы увидели объединение в определении произведения?

[AlexeyM]

Someone в сообщении #602190 писал(а):

А где Вы увидели объединение в определении произведения?

Ну, я именно так воспринял фразу "множество всех функций" в определении. В принципе, да, это я понял некорректно - наверное, имеется в виду множество, элементами которого есть множества (функции). Если взять, к примеру, функцию F на множествах $T=\{1,2\}$ и $ X=\{a,b,c\}$, для которой $F(1)=\{a,b\}, F(2)=\{c\}$, то в обобщенное прямое произведение смогут войти лишь те функции z, для которых $z(1)\in\{a,b\} \wedge z(2)\in\{c\}$. По сути, подходят две функции: $\{(1,a),(2,c)\}$ и $\{(1,b),(2,c)\}$. Согласно определению, результат получится таким: $\{\{(1,a),(2,c)\}, \{(1,b),(2,c)\}\}$. Если учесть идею о биекции, которая принимается по умолчанию, то первому множеству $\{(1,a),(2,c)\}$ можно поставить в соответствие как пару $(a,c)$, так и пару $(c,a)$. Однако ведь прямое произведение не допускает таких двояких толкований, ведь так?

Вообще, может быть есть более разумная книга, где написано про обобщенное прямое произведение без таких умолчаний? Если есть, буду очень признателен, если подскажете.

[apriv]

AlexeyM в сообщении #602317 писал(а):

Согласно определению, результат получится таким: $\{\{(1,a),(2,c)\}, \{(1,b),(2,c)\}\}$. Если учесть идею о биекции, которая принимается по умолчанию, то первому множеству $\{(1,a),(2,c)\}$ можно поставить в соответствие как пару $(a,c)$, так и пару $(c,a)$. Однако ведь прямое произведение не допускает таких двояких толкований, ведь так?

Если $T$ состоит из двух элементов $T=\{1,2\}$, можно договориться, что функции $z\colon T\to X$ соответствует упорядоченная пара $(z(1),z(2))$. Можно, конечно, договориться по-другому и сопоставить $z$ пару $(z(2),z(1))$. Но вообще-то все эти способы канонически эквивалентны друг другу. Оно и неудивительно: прямое произведение в категории множеств определено однозначно с точностью до канонического изоморфизма.

-- 02.08.2012, 16:03 --

Вообще, конечно, книжка Куратовского устарела настолько, что даже слова «обобщенное прямое произведение» сейчас нигде не встретишь; все говорят просто «прямое произведение».

[AlexeyM]

apriv в сообщении #602328 писал(а):

Если $T$ состоит из двух элементов $T=\{1,2\}$, можно договориться, что функции $z\colon T\to X$ соответствует упорядоченная пара $(z(1),z(2))$.

Если ввести порядок на множестве, получится капитальный уход в сторону от определения Куратовского В общем, наверное, лучше поискать иную литературу, поновее.

Огромное спасибо всем, кто помог разобраться с вопросом

[apriv]

AlexeyM в сообщении #602773 писал(а):

Если ввести порядок на множестве, получится капитальный уход в сторону от определения Куратовского

При чем тут это? Порядок-то Вам нужен не для работы с определением Куратовского, а для того, чтобы установить соответствие с другим определением.