Избавление от радикалов

[iamfool]

Имеется уравнение вида
$\sqrt[3]{\sqrt{f(x,y)}+g(x,y)}-\sqrt[3]{\sqrt{f(x,y)}-g(x,y)}+h(x,y) = 0$
(получилось в результате решения куб. уравнения).
Возможно ли здесь путём каких-либо преобразований избавиться от всех радикалов, чтобы потом попытаться найти отсюда $y=f(x)$ или $x=f(y)$?
Пытался возводить в куб, но в результате получаются новые кубические корни :(

[svv]

А как выглядело то кубическое уравнение?

[venco]

У вас уравнение, связывающее $f$, $g$ и $h$. $x$ и $y$ тут никаким боком, можно их опустить для простоты.
Возводите в куб, подставляете исходную сумму корней, возводите в куб ещё раз, и получаете выражение для $f$. Выражение для $h$ уже есть. Для $g$ получится кубическое уравнение.

[iamfool]

svv в сообщении #601934 писал(а):

А как выглядело то кубическое уравнение?

Хмм... Сейчас не помню, а это важно? Его коэффициенты - очень громоздкие функции от x и y.
Моё уравнение выше получилось после подстановки корня куб. уравнения (по формуле Кардано, для случая одного вещественного корня) в другое уравнение.

venco
Пардон, не понял про "исходную сумму корней". После первого возведения в куб имею что-то вроде:
$3(\sqrt{f}+g)^{1/3}(\sqrt{f}-g)^{1/3}\left[ (\sqrt{f}-g)^{1/3} - (\sqrt{f}+g)^{1/3} \right] = - (2g + h^3)$
Как быть с этим дальше? Возводить в куб ещё ДВА раза?

А, понял. $3(\sqrt{f}+g)^{1/3}(\sqrt{f}-g)^{1/3}h = - (2g + h^3).$ Спасибо!

[venco]

В квадратных скобках что написано? Ничего не напоминает?

[iamfool]

venco
Благодарю, сам только что допёр :) Ещё раз спасибо!

[Mathusic]

iamfool в сообщении #601985 писал(а):

Благодарю, сам только что допёр :)

И что вы в итоге получили? У вас в самом начале разве не кубическое уравнение было?

[iamfool]

Mathusic
Получил то, что хотел :) Верно, было кубическое уравнение, но относительно другой переменной z:
$z^3 + q(x,y)z^2 + p(x,y)z + r(x, y) = 0.$
Решив его, я получил $z(x, y)$. Далее, нужно было найти уравнение кривой в координатах x -- y, на которой $F(z(x,y)) =0$, где F -- некоторая функция. Это привело к уравнению, которым начинается эта тема.

[Профессор Снэйп]

Я не думаю, что для произвольных $q$, $p$ и $r$ что-то хорошее придумается. Для каких-то конкретных можно попробовать.

[Someone]

iamfool в сообщении #601973 писал(а):

А, понял. $3(\sqrt{f}+g)^{1/3}(\sqrt{f}-g)^{1/3}h = - (2g + h^3).$

Да, такой метод применяется, однако могут появиться посторонние корни, не удовлетворяющие условию $(\sqrt{f}-g)^{1/3} - (\sqrt{f}+g)^{1/3}=h$.

[iamfool]

Someone
При каких условиях они появляются?

[Someone]

Не знаю, никогда не анализировал. Вот пример, когда посторонние корни появляются: $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=1$.