Помогите вложить эллиптическую кривую в $\bar \mathbb{R}^3$

[Nimza]

Алгебраическая эллиптическая кривая задаётся уравнением $w^2 = (z-a)(z-b)(z-c)$, где $z, w$ комплексные, $a,b,c$ попарно различные комплексные параметры. Это двумерная поверхность в четырёхмерном $\mathbb{C}^2$. Помогите пожалуйста как-нибудь её вложить в $\overline{\mathbb{R}^3} = \mathbb{R}^3 \cup \left\{ \infty \right\}$. Я слышал, что должен получиться тор, приклеенный к бесконечности. Но как это получить? Мне нужно для изобразительных целей.

[apriv]

Nimza в сообщении #601735 писал(а):

Алгебраическая эллиптическая кривая задаётся уравнением $w^2 = (z-a)(z-b)(z-c)$, где $z, w$ комплексные, $a,b,c$ попарно различные комплексные параметры. Это двумерная поверхность в четырёхмерном $\mathbb{C}^2$. Помогите пожалуйста как-нибудь её вложить в $\overline{\mathbb{R}^3} = \mathbb{R}^3 \cup \left\{ \infty \right\}$. Я слышал, что должен получиться тор, приклеенный к бесконечности. Но как это получить? Мне нужно для изобразительных целей.

Неформально это можно представлять себе так: из уравнения $w^2=(z-a)(z-b)(z-c)$ видно, что каждому комплексному значению $z$ соответствует два значения $w$ — два квадратных корня из правой части. Однако, эти корни совпадают (и равны нулю), если $z=a$ или $b$ или $c$. То есть, первое приближение к картинке — две параллельные комплексные плоскости, склеенные в трех точках $z=a$, $b$, $c$. Однако, это неправильная картинка: дело в том, что два квадратных корня из (комплексного) числа совершенно равноправны и нельзя определить, какой из них первый, а какой второй (то есть, какой лежит на первой плоскости, а какой на второй): при обходе вокруг нуля по окружности они благополучно меняются местами. Поэтому нужно эту картинку хитрым образом порезать и склеить. После этого еще стоит вспомнить про точки на бесконечности, в итоге и должен получиться тор. Ну и вообще, для кривой $w^2=(z-a_1)\dots(z-a_{2n})$ должна получиться сфера с $n-1$ ручками, а для кривой $w^2=(z-a_1)\dots (z-a_{2n+1})$ — угадайте что.

[Nimza]

Наверное, она же, приклеенная к бесконечности?

[Nimza]

Возвращаясь к теме. Итак, $w^2 = (z-a)(z-b)(z-c)$ топологически эквивалентна сфере с одной ручкой, приклеенной к бесконечности. Как среди всех таких сфер с ручкой выбрать такую, которая будет не только топологически эквивалентной исходной поверхности, но ещё и биголоморфно эквивалентной?