Произведение инфимумов мер

[Gortaur]

Есть такая задача: даны два измеримых пространства $(X,\mathscr B_x)$ и $(Y,\mathscr B_Y)$. На первом заданы две вероятностных меры $\mu,\tilde \mu: \mathscr B_X \to [0,1]$. Кроме того, заданы два ядра $Q,\tilde Q$ такие что

1. $Q_x,\tilde Q_x$ - вероятностные меры на $(Y,\mathscr B_Y)$ для любого $x\in X$;

2. $x\mapsto Q_x(A),x\mapsto \tilde Q_x(A)$ - измеримые функции на $(X,\mathscr B_x)$ для любого множества $A\in \mathscr B_Y$.

Пусть $(Z,\mathscr B_Z) = (X,\mathscr B_x)\times (Y,\mathscr B_Y)$ является произведением данных измеримых пространств. Определим две меры на данном пространстве:

$$ R(A\times B) = \int\limits_A Q_x(B)\mu(\mathrm dx) $$

$$ \tilde R(A\times B) = \int\limits_A \tilde Q_x(B)\tilde\mu(\mathrm dx) $$

Здесь $A\in \mathscr B_X,B\in \mathscr B_Y$ произвольные, и следовательно, меры определены однозначно.

Немного обозначения: для двух вероятностных мер $\nu,\lambda$ определим их инфимум

$$ \nu\wedge \lambda = \nu - (\nu-\lambda)_{+} $$

где $(\nu-\lambda)_+$ это положительная часть знакопеременной меры $\nu-\lambda.$ Мне нужно показать, что

$$ (R\wedge \tilde R)(A\times B) = \int\limits_A (Q_x\wedge\tilde Q_x)(B) \; (\mu\wedge\tilde\mu)(\mathrm dx). $$

К сожалению, не хватает опыта работы с инфимумами и знакопеременными мерами - так что благодарен за любую помощь/подсказку. Пробовал доказать с помощью Фубини, но никакого хорошего результата не получил.

[sup]

Сомнительное утверждение.
Для примера рассмотрим двухточечные множества $X= \{0,1\}$ и $Y= \{0,1\}$. Далее, пусть ядра $Q, \tilde Q$ от $x$ не зависят. Ну и наконец
$\mu(0)=a_1$, $\mu(1)=1-a_1$, $Q(0)=b_1$, $Q(1)=1-b_1$
$\tilde \mu(0)=a_2$, $\tilde \mu(1)=1-a_2$, $\tilde Q(0)=b_2$, $\tilde Q(1)=1-b_2$
Тогда для $A=\{0\}$ и $B=\{0\}$ Ваше утверждение имеет вид
$\min (a_1b_1,a_2b_2) = \min (a_1,a_2) \min (b_1,b_2)$

[Gortaur]

sup

Да, думаю что Вы правы, спасибо. По идее там как раз должно быть неравенство, навроде

$$ \min(a_1b_1,a_2b_2)\geq \min(a_1,a_2)\min(b_1,b_2). $$

По-моему, можно показать это неравенство для прямоугольников, если выразить все через плотности - т.к. если $\mathrm d\mu = f\mathrm d\nu$ и $\mathrm d\tilde \mu = \tilde f\mathrm d\nu$ то

$$ \mathrm d(\mu\wedge\tilde\mu) = (f\wedge \tilde f)\mathrm d\nu $$