Операция, аналогичная остатку от деления

[Vedr]

Добрый день.

Извините за нечеткий вопрос. Я пока сам не до конца понимаю, что именно ищу.

Остаток от деления некоторого натурального числа на $m$ дает число x, такое, что $0 \le x < m$, причем если $x$ меньше $m$, то $x \mod m = x$. То есть остаток от деления "уменьшает" большие (в смысле - большие $m$) числа, а маленькие не меняет. А есть какие-нибудь еще функции, которые видут себя похожим образом? Не обязательно для целых чисел, можно и для действительных. Например, тот-же $\cos(x)$ "уменьшит" число, большее 1 (т.к. область значений косинуса не превосходит 1), но при повторном применении, число будет меняться.

Заранее благодарен.

[Aritaborian]

Ну, к примеру, операция выделения дробной части числа. Впрочем, это тоже остаток. От деления на единицу.

[svv]

Vedr писал(а):

Я пока сам не до конца понимаю, что именно ищу.

Всё же уточните: так, как ведёт себя косинус — это для искомых функций тоже допустимо, или такое поведение не годится?

[Sonic86]

Vedr в сообщении #595288 писал(а):

А есть какие-нибудь еще функции, которые видут себя похожим образом?

Смотря насколько похожим образом Т.е. Вам надо явно $f$ такую, что для всех $k=0,...,m-1$ $f(k)=k$, а при больших $k$ как функция себя должна вести? Можно положить $f(k)=g(k) \mod m$, где $g$ - произвольная целозначная функция (например, $f(k)=[\log _2 k] \mod m$ при $k\geqslant m$) - так получится достаточно много функций $f$.

[Профессор Снэйп]

Vedr в сообщении #595288 писал(а):

А есть какие-нибудь еще функции, которые видут себя похожим образом?

Насколько "похожим", вот в чём вопрос.

Сразу вспоминаются проекторы в векторных пространствах. Но тут нужна числовая функция.

Выбираем $m$. Функций из $\mathbb{R}$ в $[0,m]$, для которых $f(x) = x$ при $x \in [0,m]$, целый вагон континуум. Вас любая такая функция устраивает или для неё ещё какие-то дополнительные свойства должны выполняться?

[Kallikanzarid]

Остаток от деления хорошо определен для полиномов (практическое вычисление - с помощью деления столбиком). Насчет дальнейших обобщений не знаю, ИМХО их нельзя построить для колец, не имеющих предпорядка.