гармоническая функция

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим квадрат $K=\{|x|<1,\quad 0<y<2\}\subset\mathbb{R}^2$ и множествo $Q=\overline K\backslash\{(0,0)\}$.

Привести пример функции $\psi\in C(\partial K)$ такой, что существует гармоническая в $K$ функция $u$ такая, что
$u\in C(Q)$ и $u\mid_{\partial K}=\psi$. При этом $u$ неограничена в $K.$

[Padawan]

$\psi=0$

[Oleg Zubelevich]

ок, а что с функцией $u$?

(Оффтоп)

(я не говорю, что задача сложная, и не сомневаюсь, что Вы умеете ее решать, но некоторые "заслуженные участники" не умеют. Это просто типа контрпримера по мотивам другой ветки

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #600810 писал(а):

ок, а что с функцией ?

Если решение задачи Дирихле для этого квадрата задается формулой $f(x,y)=\int_{\partial K} \psi(s) P(x,y;s) ds$, то $u(x,y)=P(x,y;0)$. Типа фундаментальное решение задачи Дирихле с граничными данными $\psi$ = дельта функции.

[sup]

Да можно пример и попроще. Что-нибудь типа
$u = \operatorname{Im}e^{1/z^2}$
Вообще-то от квадрата стоит перейти к полуплоскости. Тогда уже ясно, что за основу следует взять любую гармоническую функцию ограниченную на вещественной оси и не ограниченную в верхней полуплоскости.

[Oleg Zubelevich]

мой пример был $u(z)=\mathrm{Re}\,e^{-1/z^2}$

[worm2]

Меня немного смущает условие $u\mid_{\partial K}=\psi$. Всё-таки $(0,0)\in\partial K$, а $u$ в этой точке не определена.
Как-то так, может: $u\mid_{\partial K \cap Q}=\psi$ ?
В таких задачах "на контрпример" всегда подозреваешь засаду во всяких мелочах.

[ewert]

worm2 в сообщении #600892 писал(а):

В таких задачах "на контрпример" всегда подозреваешь засаду во всяких мелочах.

Просто задача лишена физического смысла. Так часто бывает, особенно иногда.

[Oleg Zubelevich]

worm2 в сообщении #600892 писал(а):

Меня немного смущает условие $u\mid_{\partial K}=\psi$. Всё-таки $(0,0)\in\partial K$, а $u$ в этой точке не определена.
Как-то так, может: $u\mid_{\partial K \cap Q}=\psi$ ?

пусть так, суть не в этом (а можно и доопределить $u$ в нуле, тогда будет как в условии)

worm2 в сообщении #600892 писал(а):

В таких задачах "на контрпример" всегда подозреваешь засаду во всяких мелочах.

задачи на контрпример проявляют, что мелочи, а что нет

[Хорхе]

Когда-то на студенческой олимпиаде во Львове была задача (пишу по памяти): гармоническая в диске $\{|z|\le 1\}$ без точки $(1,0)$ функция равна нулю во всех точках его границы, кроме $(1,0)$. Обязательно ли она равна нулю?

Ну и явно выписывается, конечно.

[ewert]

Хорхе в сообщении #601408 писал(а):

Ну и явно выписывается, конечно.

Плохая задача. Потому что контрпример очевиден -- это решение задачи Дирихле с точечным источником на границе. Так вот: если в решении ограничиться лишь этой фразой, не выписывая функцию явно -- следует ли такое решение засчитывать?... Так что плохая.

[Padawan]

ewert
Ну для круга-то решение задачи Дирихле все знают.

[ewert]

Padawan в сообщении #601432 писал(а):

Ну для круга-то решение задачи Дирихле все знают.

Ну я вот не знаю (в том смысле, что мне нужно несколько минут, чтобы его заново вывести, что лень). Дело-то в том, что явный вид вовсе и не нужен -- достаточно знания того, что такая функция существует. Правда, там есть формальная проблема -- корректно ли уведение источника на границу. С моей точки зрения, это уже некоторая ловля блох, для олимпиадных задач малоуместная.