помогите найти сумму степенного ряда

[prialmi]

Как найти сумму ряда $\sum x^n$, где $n=2^k, k=0,1,2...$
Спасибо.

[gris]

Ряд сходится в интервале $(-1;1)$.
Интересно, что сумма имеет два нуля: $x=0$ и $x\approx -0,6586$
Функция неэлементарная, слишком уж расползаются члены ряда.
Вот и всё, что я могу сказать Самому стало интересно.

Впрочем, ряд настолько быстро сходится при любом $x$ (не слишком близком к 1), и алгоритм численного суммирования настолько хорош, что искать другие представления просто грешно.

[Mathusic]

Попробовать составить диффур?

[prialmi]

gris, спасибо, насчет нулей - очень интересно! Но хотелось бы получить общую формулу...
Mathusic, пардон, а что за дифур?

[Mathusic]

prialmi
Я сам не знаю, можно ли подобрать какой-ть полезный.

[Vince Diesel]

Да нет простой формулы. Это назывется лакунарный ряд. Вот функциональное уравнение выписать несложно.

[CptPwnage]

Вроде бы в комплексной области у функции задаваемой суммой ряда все точки на границе круга сходимости особые, но я не уверен

[Sonic86]

CptPwnage в сообщении #600742 писал(а):

Вроде бы в комплексной области у функции задаваемой суммой ряда все точки на границе круга сходимости особые, но я не уверен

Да, это так. Этот факт я в книжке видел

[Mathusic]

Vince Diesel в сообщении #600741 писал(а):

Да нет простой формулы. Это назывется лакунарный ряд. Вот функциональное уравнение выписать несложно.

А оно непрерывное вообще это чудо?

[gris]

Чудо даже бесконечно дифференцируемо.

[ewert]

Mathusic в сообщении #600760 писал(а):

А оно непрерывное вообще это чудо?

Внутри единичного круга -- естественно, непрерывное, т.к. аналитическое. А на границе мало того что не непрерывное, но даже толком и не определено: существует всюду плотное множество точек границы, при подходе к которым изнутри значение функции уходит на бесконечность.

[Профессор Снэйп]

Ага. Из $f(z) = z + f(z^2)$ следует, что $e^{i\pi m/2^k}$ будут такими точками для всех $m,k \in \mathbb{N}$.

[gris]

А разве это не следует из того, что все корни из единицы степени два в любой натуральной степени будут доставлять в ряд сплошные единицы и нарушать необходимый признак.

[nnosipov]

gris в сообщении #600779 писал(а):

А разве это не следует из того, что все корни из единицы степени два в любой натуральной степени будут доставлять в ряд сплошные единицы и нарушать необходимый признак.

Необходимы признак чего? Если сходимости ряда, то это будет свидетельствовать только о расходимости ряда в этих точках. Лучше устремить $z$ к этим точкам по радиусу, и стремление $f(z)$ к бесконечности станет очевидным.

[prialmi]

Надо ж, к какому чуду я прикоснулся :)
А подскажите тогда плиз программу, с помощью которой можно вычислять хотя бы приближенные значения этого ряда.

И потом, Профессор Снэйп, скажите пожалуйста - это что, функциональное уравнение этого ряда?