Пример недифференцируемой функции

[vlad_light]

Подскажите пример функции из $L^p(\Omega )$, которая не имеет обобщённой производной, т.е. принадлежит $L^p(\Omega )\setminus W^{1,p}(\Omega )$. Я думал об индикаторе неизмеримого по Лебегу множества; есть какой-то более простой пример?

[CptPwnage]

Да, есть поучительный пример функция $|x|^\alpha, x\in (0,1)^n$ (окрестность 0 любая). Легко доказать что обобщенная производная существует при $\alpha + n > 0$ (если не напутал). Доказательство переход в полярные координаты.

[vlad_light]

Пусть $n=1$. Тогда при каких $\alpha $ производная от $|x|^\alpha $ НЕ будет существовать?
Если $\alpha :=-2$, то $-2+1=-1<0$ и $\frac{1}{x^2}\notin L^p(0,1)$.

[ewert]

vlad_light в сообщении #600249 писал(а):

Я думал об индикаторе неизмеримого по Лебегу множества;

Это Вы напрасно думали: о каком вообще $L^p$ тогда может идти речь?

CptPwnage в сообщении #600271 писал(а):

Легко доказать что обобщенная производная существует при $\alpha + n > 0$ (если не напутал).

Напутали, причём по существу: это -- условие суммируемости самой функции. Условие принадлежности этой функции к $L^p$, соответственно, более жёсткие. А уж для соответствующей принадлежности её производных (т.е. для вхождения функции в соответствующий соболевский класс) и подавно.

С другой стороны: обобщённая производная как таковая (если не требовать какой-либо её суммируемости) будет существовать в этом случае при всех альфах. С третьей: не будет иметь даже и обобщённой производной любая функция попросту с разрывом первого рода, скажем.

[vlad_light]

Цитата:

Это Вы напрасно думали

Всё, понял, написал бред

Цитата:

не будет иметь даже и обобщённой производной любая функция попросту с разрывом первого рода

Функция Хевисайда имеет в 0 разрыв первого рода, но её производная равна дельта-функции.

[ewert]

vlad_light в сообщении #600308 писал(а):

но её производная равна дельта-функции.

Но вы же говорили о соболевских пространствах, не так ли? А в них производные -- это обычные, классические функции, для которых лишь понятие производной обобщается. Дельта-функция же (вообще обобщённые функции) -- это уже другая тема.

[CptPwnage]

Да, ошибся, тогда вот так
$|x|^\alpha \in L^p ( (0,1)^n)$ при $p\alpha+n>0$, то есть $\alpha > -n/p$.
Теперь производная. $\frac{\partial |x|^\alpha}{\partial x_1}=\alpha|x|^{\alpha-1}x_1/(|x|)=\alpha|x|^{\alpha-2}x_1$
Функция должна быть интегрируема в степени $p$ в окрестности $0$. Аналогично значит $p+p(\alpha-2)+n-1>-1$, отсюда $\alpha>-n/p+1$.
Вот пример, $n=2,p=2,\alpha=-1/2$.

[vlad_light]

$\frac{\partial }{\partial x_1}|x|^\alpha =\frac{\partial }{\partial x_1}(x_1^2+x_2^2)^{\frac{\alpha }{2}}=\alpha x_1(x_1^2+x_2^2)^{\frac{\alpha -2}{2}}$ - т.е. существует классическая производная, а это неинтересно.
Поставлю вопрос по-другому. Пусть оператор $D^\alpha :L^p(\Omega )\to L^q(\Omega ), D^\alpha =\frac{\partial}{\partial x_1^{\alpha _1},...,\partial x_n^{\alpha _n}}u(x_1,...,x_n)$ - оператор дифференцирования в обобщённом смысле и $p$ не обязательно сопряжено к $q$. Хочу увидеть пример функции $u\in L^p(\Omega )$ такой, что $D^\alpha u\notin L^q(\Omega )$, при любых $q\in [1,+\infty)$($[1,+\infty]$).

[CptPwnage]

Ну не совсем, при $\alpha <2$ классическая производная в нуле не существует, а обобщенной и будет эта функция.

[Oleg Zubelevich]

vlad_light в сообщении #600249 писал(а):

Подскажите пример функции из $L^p(\Omega )$, которая не имеет обобщённой производной, т.е. принадлежит $L^p(\Omega )\setminus W^{1,p}(\Omega )$. Я думал об индикаторе неизмеримого по Лебегу множества; есть какой-то более простой пример?

$\Omega=(-1,1),\quad \mathrm{sgn}\,x\in L^p(\Omega )\setminus W^{1,p}(\Omega )$

[vlad_light]

Цитата:

классическая производная в нуле не существует, а обобщенной и будет эта функция.

А я хочу, чтоб даже обобщенной не существовало.
Я понял, что соболевский класс расширяет класс $C^1(\Omega )$ до $C(\Omega )$, т.е. в точках, где функция "ломается" ищут не обычную, а обобщённую производную. Но, если функция имеет счетное количество разрывов первого рода, то в производной появляется ряд из дельта-функций.
Я же хочу пример такой функции, для которой, этот ряд будет расходящимся. Я думал о функции Дирихле: у неё слева от рациональной точки производная равна минус дельта-функции, а справа - плюс дельта-функции. Поскольку скачков там много, у нас получится ряд типа $\sum\limits _{n=1}^\infty (-1)^n\delta (x)$, который будет расходящимся. Но беда в том, что в $L^p(\Omega ):\chi _{\mathbb Q}(t)=0$ п.в. и производная будет выглядеть гораздо проще: $\frac{d}{dt}0=0$.
Мне сложно объяснить, чего я хочу, может кто-нибудь другой поймёт и попытается перевести это на нормальный язык?

[CptPwnage]

Ну это просто разные вещи немного, соболевская производная это просто обычная функция, а не обобщенная, она не может быть дельта функцией. А в теории обобщенных функций обобщенная производная всегда существует.

[ewert]

vlad_light в сообщении #600538 писал(а):

Я понял, что соболевский класс расширяет класс $C^1(\Omega )$ до $C(\Omega )$, т.е. в точках, где функция "ломается" ищут не обычную, а обобщённую производную.

Нет, Вы совершенно неправильно поняли. Во-первых, соболевские классы расширяют пространства гладких функций не до непрерывных, а шире (непрерывность гарантирована лишь при определённых дополнительных условиях -- в частности, в одномерном случае). Во-вторых, обобщённая производная "ищется" не в каких-то отдельных точках, а в области в целом.

-- Сб июл 28, 2012 22:07:29 --

vlad_light в сообщении #600538 писал(а):

А я хочу, чтоб даже обобщенной не существовало.

В каком смысле не существовало -- обобщённой производной вообще или чтоб существовала, но не была в соответствующем смысле суммируемой? Если вообще, то Вам уже минимум два раза привели пример -- просто разрыв первого рода. Если чтобы лишь отсутствовала суммируемость -- то и этот пример тоже был (со степенными функциями). Чего ж Вам угодно-то?...

[vlad_light]

Спасибо, вопрос снят!