Преобразование Лоренца для скоростей

[Sergey K]

Готовясь к экзамену, понял вывод преобразования Лоренца для координат. Следующий этап - преобразование для скоростей вызвал не ожиданые трудности. Смотрел ЛЛ и ФЛФ, вроде все понятно, но получить самостоятельно не могу. Посмотрел вывод в интернете - окончательно перестал понимать, что там нужно делать.

Итак, есть у нас неподвижная система отсчета K. Вдоль её оси x движется система отсчета K' со скоростью v. В системе отсчета бросают некое тело со скоростью u'. Найти скорость брошенного тела с системе K - u.

Нам известны преобразования Лоренца для координат. мы вспоминаем что по определению $\upsilon = \frac {dx} {dt} $, $\upsilon ' = \frac {dx'} {dt'} $. Записываем преобразование для коордиат в дифференциальной форме ($dx$), делим преобразования для координат на преобразование для $dt$... и тут я решительно что-то перестаю понимать, потому что вводят ещё какую-то скорость.. Преобразование так элементарно, что нигде не расписывается. Я, наверно, запутался с относительностью. Поясните мне, пожалуйста, подробно. Возможно, в других обозначениях.

[lek]

Sergey K, проведите вычисления прямо здесь (используя ЛЛ) и укажите на каком этапе возникают проблемы. Разберемся...

[Munin]

Скоростей всего три: скорость тела в первой СО, скорость тела во второй СО, скорость второй СО относительно первой СО. Лучше всего записать расшифровки обозначений на бумажке и держать перед глазами, например, вверху листа с выкладками.

В строгом виде выкладки делаются с дифференциалами, но если считать, что речь о равномерном прямолинейном движении тела, то можно для наглядности рассматривать не дифференциалы, а конечные величины. Мировая линия тела будет прямой линией, а линия однозначно задаётся двумя точками. Выбираете эти две (неравные) точки в одной СО, и переводите их координаты преобразованиями Лоренца в другую СО. Проводите через них новую линию. Пытаетесь понять, что получилось.

[Sergey K]

пусть $u_x$ скорость тела в K, $u_x'$ скорость тела в K', $\nu$ - скорость K' относительно K.

В момент времени $t_1=0$ тело имеет координаты: $x'=0$ в $K'$ и $x_1 = \frac {x'+\nu t'} {\sqrt{1- \frac {\nu} {c^2}}}$ в $k$.

В момент времени $t_2$ тело имеет координаты: $x'=u_x t_2'$ в $K'$ и $x_2 = \frac {u_x' t_2'+vt_2'} {\sqrt{1- \frac {u} {c^2}}}$ в $k$.

очевидно, что прошло оно передвинулось на $x_2-x_1$ - та самая новая линия. и если разделим это расстояние на $t_2-t_1$, то считая движение равномерным, мы получим $u_x$

$x_2-x_1 = \frac {u_x' t_2'+\nu t_2'} {\sqrt{1- \frac {\nu} {c^2}}}$ , $t_2-t_1= \frac {t_2'+ \frac {\nu} {c^2} x_2' } {\sqrt{1- \frac {\nu} {c^2}}}$

$u_x = \frac {u_x' t_2' + \nu t_2'} {t_2'+ \frac {\nu} {c^2} x_2'} $ то есть я получаю опять что-то не то...

[lek]

Исправьте везде $u$ на $v$ (вы относительную скорость систем отсчета обозначаете двумя символами) и в правой части последнего равенства (одновременно) разделите числитель и знаменатель на $t'_{2}$ (да, еще, в третьей строчке надо заменить $u_{x}$ на $u'_{x)$). Получите правильную формулу...

[Sergey K]

Цитата:

мы получим $u_x$

это вот это заменить? но почему? ведь $x_1, x_2, t_1, t_2 $ без штрихов, то есть в k. и мы соответственно, выражаем их через $x_1', x_2', t_1', t_2'$ и выраженное подставляем.

[lek]

Третья строка:

В момент времени... $x'=u_{x}t'_{2}$ ...

Изменить на

В момент времени... $x'=u'_{x}t'_{2}$ ...

[Sergey K]

А! все понятно, всем большое спасибо) учу дальше...

[Someone]

Sergey K в сообщении #600399 писал(а):

все понятно

Есть ещё вот такой вывод: http://dxdy.ru/post521437.html#p521437 (читать всю тему не следует).